歐拉法

它不直接追究質點的運動過程，而是以充滿運動液體質點的空間——流場為對象。研究各時刻質點在流場中的變化規律。將個別流體質點運動過程置之不理，而固守於流場各空間點。通過觀察在流動空間中的每一個空間點上運動要素隨時間的變化，把足夠多的空間點綜合起來而得出的整個流體的運動情況。在數學和計算機科學中，歐拉方法，命名自它的發明者萊昂哈德·歐拉，是一種一階數值方法，用以對給定初值的常微分方程（即初值問題）求解。它是一種解決數值常微分方程的最基本的一類顯型方法（Explicit method）。

基本介紹

• 中文名：歐拉方法
• 外文名：Euler method
• 發現者：萊昂哈德·歐拉
• 別名：歐拉表示法
• 類別：數學
• 基本思想：疊代

基本概念

歐拉法是常微分方程的數值解法的一種，其基本思想是疊代。其中分為前進的EULER法、後退的EULER法、改進的EULER法。所謂疊代，就是逐次替代，最後求出所要求的解，並達到一定的精度。誤差可以很容易地計算出來。

歐拉法是考察流體流動的一種方法。通常考察流體流動的方法有兩種，即拉格朗日法和歐拉法。

歐拉法（euler method）是以流體質點流經流場中各空間點的運動即以流場作為描述對象研究流動的方法——流場法。

它不直接追究質點的運動過程，而是以充滿運動液體質點的空間——流場為對象。研究各時刻質點在流場中的變化規律。將個別流體質點運動過程置之不理，而固守於流場各空間點。通過觀察在流動空間中的每一個空間點上運動要素隨時間的變化，把足夠多的空間點綜合起來而得出的整個流體的運動情況。在數學和計算機科學中，歐拉方法，命名自它的發明者萊昂哈德·歐拉，是一種一階數值方法，用以對給定初值的常微分方程（即初值問題）求解。它是一種解決數值常微分方程的最基本的一類顯型方法（Explicit method）。

定義

歐拉法的定義目前有很多，主要分為以下幾類：

1. 一種簡單的顯示單步法.計算公式由y_n+1=y_n+hf_n表出，式中f_n=f(x_n，y_n).歐拉法是一階顯式方法，且是收斂的。其穩定函式為一次多項式R(z)=1+z，z為複數，絕對穩定區域為複平面上以(-1，0)為中心的單位圓內部。
   
2. 是指用 “流速場” 這個概念來描述流體的運動，它表示流速在流場中的分布和隨時間的變化。把流速u在各坐標軸上的投影u_a、u_y和u_z表為x、y、z和t四個變數的函式，u_x=u_x (x，y，z，t)，u_y=u_y(x，y，z，t)，u_z=u_z(x，y，z，t)。這樣的描述方法稱為歐拉法。
   
3. 一種通過描述空間固定點上流動特性來研究流體運動的方法。此法以空間坐標和時間為獨立變數，研究整個流場的時間變化。在大氣擴散研究中，運用歐拉法，通過計算某些空間固定點上污染物濃度隨時間變化來研究污染物散布規律。採用歐拉法解平流擴散方程易引起偽擴散，在實際套用中應予考慮。
   
4. 又稱歐拉表示法，它不考察個別流點的運動情 況，而是一種通過研究流體中空間固定 點上流動況來研究流體運動的方法。 採用歐拉法，是把流體運動視作流場隨 時間的變化，即流速空間分布的時間變 化。
   

歐拉法

歐拉法是常微分方程的數值解法的一種，其基本思想是疊代。其中分為前進的EULER法、後退的EULER法、改進的EULER法。所謂疊代，就是逐次替代，最後求出所要求的解，並達到一定的精度。誤差可以很容易地計算出來。

歐拉法的特點

單步，顯式，一階求導精度，截斷誤差為二階。

歐拉法的缺點

歐拉法簡單地取切線的端點作為下一步的起點進行計算，當步數增多時，誤差會因積累而越來越大。因此歐拉格式一般不用於實際計算。

改進歐拉格式

為提高精度，需要在歐拉格式的基礎上進行改進。採用區間兩端的函式值的平均值作為直線方程的斜率。改進歐拉法的精度為二階。