點群（point group）是晶體中所含有的全部巨觀對稱元素至少交於一點，這些匯聚於一點的全部對稱元素的各種組合稱為晶體的點群，或稱為對稱類型。數學分析證明，前述旋轉及旋轉一反演對稱操作所可能有的三維空問點群共有32種。在分析中考慮了晶體結構周期性重複的制約。當晶體具有一個以上的對稱元素時，這些對稱元素一定會通過一個公共點，相應的對稱操作都屬於點操作。這種對稱操作的數學分析是數學中群論的一個分支，所以稱為點群。每一種晶體的巨觀對稱性必須屬於32種點群中的一種。
基本介紹
- 中文名：點群
- 外文名：point group
- 術語來源：固體物理學，晶體化學
- 概念來源：對稱要素，對稱操作群
- 別稱：對稱型
- 實質：全部對稱要素的組合
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點群定義
見晶體的對稱性。
在固體物理中，點群與晶類（crystal class）有等同的含義。
對稱操作群：由物體的對稱操作構成的群。
對稱操作：物體在正交變換（保持兩點間距離不變的幾何操作，如旋轉，反伸，反映）下不變，則該變換為物體的對稱操作。
群：數學概念，集合和其上的一種運算構成一個群。群要求滿足封閉性，存在單位元素，存在逆元素，滿足該運算的結合律；簡單說群是按照某種規律相互聯繫著的一組元素的集合。群的元素可以是字母、數字等，在晶體對稱理論中，群的元素是對稱操作。
對稱要素
對稱要素包括對稱中心、對稱軸、對稱面、旋轉反伸軸和旋轉反映軸。對稱要素可用普通符號、國際符號和Schoenflies 符號三種方式表示。可以證明，晶體中對稱要素共有8種。分別是1，2，3，4，6 ，m，i，-4（這裡用國際符號表示，準晶中還可以出現其他對稱要素）。
對稱軸：對稱軸是一根假象直線，n重旋轉軸是指若物體繞某軸轉2π/n 及2π/n的整數倍，物體不變，則該軸為物體的n重旋轉軸。
普通符號 |  |
國際符號 | n |
Schoenflies 符號 |  |
普通符號 | P |
國際符號 | m |
普通符號 | C |
國際符號 | i |
旋轉反伸軸：旋轉反伸軸是一根假象直線，若物體對某軸作轉2π/n 加上中心反伸的聯合操作，及聯合操作的倍數，物體不變，則該軸為物體的n重旋轉反伸軸。
普通符號 |  |
國際符號 | -n |
普通符號 |  |
國際符號 | ~n |
Schoenflies 符號 |  |
對稱要素的組合
在結晶多面體中，可以有一個對稱要素單獨存在，也可以有若干個對稱要素組合在一起共存。
對稱要素組合服從如下規律：
1）如果有一個二次軸
垂直n次軸
，則必有n個垂直與，即x→n。
4）如果有一個二次軸垂直與旋轉反伸軸
，或者有一個對稱面P包含，當n為奇數時必有n垂直和n個對稱面包含，即x→nnP，xP→nnP；當n為偶數時必有n/2個垂直和n/2個P包含，即x→n/2n/2P，xP→n/2n/2P。
點群介紹
根據晶體的特徵對稱元素所進行分類。
14種Bravais(布拉維)格子：簡單三斜、簡單單斜、底心單斜、簡單正交、底心正交、體心正交、面心正交、三角、簡單四方、體心四方、六角、簡單立方、體心立方、面心立方；
32個晶類（點群）：C1、Ci、C2、Cs、C2h、D2、D2v、D2h、C3、C3i、D3、C3v、D3d、C4、C4h、D4、C4v、D4h、S4、D2d、C6、C6h、D6、C3v、D6h、C3h、D2h、T、Th、Td、O、Oh（這裡用 Schoenflies 符號表示，還可以用國際符號表示，請參考相關書目） 。
比如正方體有48個對稱操作：
沿著立方軸轉π/2,π，3π/2，有3個立方軸，共9種
沿著面對角線轉π，有6條面對角線，共6種
沿著體對角線轉2π/3，4π/3，有4條體對角線，共8種
不動算1種，共9+6+8+1=24種。
這24種轉動加上中心反演也有24種，故共48種，記為Oh，其中24種純轉動記為O。
