基本介紹
- 中文名：波爾查諾-維爾斯特拉斯定理
- 外文名：Bolzano-Weierstrass theorem
- 別名：緻密性定理
- 適用領域：數學分析
- 套用學科：數學
定律定義,推導過程,
定律定義
緻密性定理：有界數列必有收斂子列。
先介紹子列的概念：在數列{xn}中任意抽取無限多項並保持這些項在原數列中的先後次序，這樣得到的一個數列稱為原數列的子列。
根據極限的性質，數列有界是收斂的必要條件，即如果數列收斂，那它一定有界，但反之不一定成立。可是緻密性定理卻告訴我們，只要一個數列有界，那么它一定會有收斂的子數列。
由於子列收斂，設收斂到常數A，根據極限的幾何意義，在A的ε鄰域內總有子列的無數個點。而ε是任意正數，這就意味著在A的任何鄰域內都有子列的無數個點。所以從點集的角度來描述該定理，則是：有界點集至少有一個聚點（即聚點定理）。
推導過程
緻密性定理體現了實數的連續性，與其他體現實數連續性的命題等價。特別地，聚點定理可以看做緻密性定理在點集拓撲論中的體現，或者說緻密性定理是聚點定理在實數理論中的體現，所以有的書上把這兩個定理等同來看待。
下面用實數公理——戴德金定理來證明緻密性定理。
設數列{xn}有界，即存在M>0，|xn|≤M。若{xn}中有無窮多項相等，取這無窮多項構成{xn}的一個子列，則該子列為一常數列，而常數列總是收斂的。
若{xn}中只有有限項相等，定義數集A，A中任一元素c滿足：在區間(-∞,c]上最多只有{xn}的有限項（注意用詞“最多”，這意味著(-∞,c]上可以有{xn}的0項），而區間(c,+∞)上有{xn}的無窮多項。並把A在R中的補集記為B。顯然：
①-M-1∈A，M∈B，因此A、B非空；
②A∪B=R；
③對任意p∈A，q∈B，都有p<q(反證可得)
根據戴德金定理，存在唯一實數ξ，要么它是A中的最大值，要么它是B中的最小值。
取任意ε>0，有ξ-ε∈A，ξ+ε∈B，因此區間(ξ-ε,ξ+ε)有{xn}的無窮多項。這是因為假設(ξ-ε,ξ+ε)只有{xn}的有限項，則根據數集A的構造，在(-∞,ξ-ε]上只有{xn}的有限項，而數列中等於ξ+ε的項最多也只有有限個，於是(-∞,ξ-ε]∪(ξ-ε,ξ+ε)∪{ξ+ε}=(-∞,ξ+ε]上只有{xn}的有限項。所以ξ+ε∈A，矛盾。
由於(-∞,ξ-ε]上只有{xn}的有限項，當ε逐漸減小時，(ξ-ε,ξ+ε)之外的項將逐漸增多。要使(ξ-ε,ξ+ε)仍有{xn}的無窮多項，則n需要足夠大，即n越大越可能留在(ξ-ε,ξ+ε)之內，n越小越可能落在(ξ-ε,ξ+ε)之外。
於是，取
，則存在正整數
，使
，即
取
，則存在正整數
，使
，即
……
取
，則存在正整數
，使
於是就得到數列{xn}的子列
，當
時，由夾逼定理得
，即
這就證明了緻密性定理。
