格里戈里．米哈伊洛維奇．菲赫金哥爾茨的《微積分學教程》是一部卓越的科學與教育著作，曾多次再版，並被翻譯成多種文字．《教程》包含實際材料之豐富，諸多一般定理在幾何學、代數學、力學、物理學和技術領域的各種套用之眾多，在同類教材中尚無出其右者。
基本介紹
- 中文名：前蘇聯數學書
- 作者：(前蘇聯)菲赫金哥爾茨
- 圖書分類：教育/科技
- 發行時間：1955年
內容,教程,
內容
很多現代著名數學家都提到，正是Γ．M．菲赫金哥爾茨的《教程》使他們在大學時代培養起了對數學分析的興趣和熱愛，讓他們能夠第一次清晰地理解這門課程。.
從《教程》第一版問世至今已有50年，其內容卻並未過時，現在仍被綜合大學以及技術和師範院校的學生像以前那樣作為數學分析和高等數學的基本教材之一使用．不僅如此，儘管出現了新的一批優秀教材，但Γ．M．菲赫金哥爾茨的《教程》問世起，其讀者群就一直不斷擴大，現在還包括許多數理特長中學(譯註：在俄羅斯，除了類似中國的以外語、音樂為特長的中學，還有以數學與物理學為重點培養方向的中學，其教學大綱包括更多更深的數學與物理學內容，學生則要經過特別的選拔．)的學生和參加工程師數學進修培訓課程的學員。
《教程》所獨有的一些特點是其需求量大的原因．《教程》所包括的主要理論內容是在20世紀初最後形成的現代數學分析的經典部分(不含測度論和一般集合論)．數學分析的這一部分在綜合大學的一、二年級講授，也(全部或大部分)包括在所有技術和師範院校的教學大綱中．《教程》第一卷包括實變一元與多元微分學及其基本套用，第二卷研究黎曼積分理論與級數理論，第三卷研究多重積分、曲線積分、曲面積分、斯蒂爾吉斯積分、傅立葉級數與傅立葉變換。
教程
《教程》的主要特點之一是含有大量例題與套用實例，正如前文所說，通常這些內容非常有趣，其中的一部分在其他俄文文獻中是根本沒有的。..
另外—個重要特點是材料的敘述通俗、詳細和準確．儘管《教程》的篇幅巨大，但這並不妨礙對本書的掌握．恰恰相反，這使作者有可能把足夠多的注意力放在新定義的論證和問題的提法，基本定理的詳盡而細緻的證明，以及能使讀者更容易理解本課程的其他方面上．每個教師都知道，同時做到敘述的清晰性和嚴格性一般是很困難的(後者的欠缺將導致數學事實的扭曲)．格里戈里．米哈伊洛維奇．菲赫金哥爾茨的非凡的教學才能使他在整個《教程》中給出了解決上述問題的大量實例，這與其他一些因素一起，使《教程》成為初登講台的教師的不可替代的範例和高等數學教學法專家們的研究對象。《教程》還有一個特點是極少使用集合論的任何內容(包括記號)，同時保持了敘述的全部嚴格性．整體上，就像50年前那樣，這個方法使很大一部分讀者更容易初步掌握本課程。
目錄:
緒論 實數
§1．有理數域
1．前言(1).
2．有理數域的序(2)
3．有理數的加法及減法(2)
4．有理數的乘法及除法(4)
5．阿基米德公理(5)
§2．無理數的導入 實數域的序
6．無理數的定義(6)
7．實數域的序(8)
8．輔助命題(9)
9．用無限小數來表示實數(10)
10．實數域的連續性(12)
11．數集的界(12)
§3．實數的算術運算
12．實數的和的定義(15)
13．加法的性質(16)
14，實數的積的定義(17)
15．乘法的性質(18)
16．結論(19)
.17．絕對值(20)
§4．實數的其他性質及套用
18．根的存在．以有理數為指數的冪(21)
19．以任意實數為指數的冪(22)
20．對數(24)
21．線段的度量(25)
第一章 極限論
§1．整序變數及其極限
22．變數、整序變數(28)
23．整序變數的極限(31)
24．無窮小量(32)
25．例題(33)
26．關於有極限的整序變數的一些定理(37)
27．無窮大量(38)
§2．極限的定理．若干容易求得的極限
28．對等式及不等式取極限(40)
29．關於無窮小的引理(42)
30．變數的算術運算(43)
31．不定式(44)
32．極限求法的例題(46)
33．斯托爾茨(O．Stolz)定理及其套用(50)
§3．單調整序變數
34．單調整序變數的極限(53)
35．例題(55)
36．數e(60)
37．數e的近似計算法(62)
38．關於區間套的引理(64)
§4．收斂原理．部分極限
39．收斂原理(66)
40．部分數列及部分極限(68)
41．布爾查諾一魏爾斯特拉斯(B．Bolzano-C．Weierstrass)引理(69)
42．上極限及下極限(70)
第二章 一元函式
§1．函式概念
43．變數及其變動區域(74)
44．變數間的函式關係，例題(75)
45．函式概念的定義(76)
46．函式的解析表示法(78)
47．函式的圖像(80)
48．幾類最重要的函式(81)
49．反函式的概念(86)
50．反三角函式(87)
51．函式的迭置．總結(91)
§2．函式的極限
52．函式的極限的定義(92)
53．變成整序變數的情形(94)
54．例題(95)
55．極限理論的拓廣(103)
56．例題(105)
57．單調函式的極限(107)
58．布爾查諾—柯西的一般判定法(108)
59．函式的上極限及下極限(110)
§3．無窮小及無窮大的分階
60．無窮小的比較(110)
61．無窮小的尺度(111)
62．等價無窮小(113)
63．主部的分出(114)
64．套用題(115)
65．無窮大的分階(117)
§4．函式的連續性及間斷
66．函式在一點處的連續性的定義(118)
67．連續函式的算術運算(119)
68．連續函式的例題(120)
69．單側連續．間斷的分類(122)
70．間斷函式的例題(122)
71．單調函式的連續性及間斷(124)
72．初等函式的連續性(125)
73．連續函式的迭置(126)
74．一個函式方程的解(126)
75．指數函式、對數函式及冪函式的函式特性(128)
76．三角餘弦及雙曲餘弦的函式特性(130)
77．函式的連續性在計算極限時的套用(132)
78．冪指數式(135)
79．例題(136)
§5．連續函式的性質
80．關於函式取零值的定理(137)
81．套用於解方程(139)
82．介值定理(140)
83．反函式的存在(141)
84．關於函式的有界性的定理(143)
85．函式的最大值及最小值(143)
86．一致連續的概念(145)
87．康托定理(147)
88．博雷爾引理(148)
89．基本定理的新證明(149)
第三章 導數及微分
§1．導數及其求法
90．求動點速度的問題(152)
91．在曲線上作切線的問題(153)
92．導數的定義(155)
93．求導數的例題(157)
94．反函式的導數(160)
95．導數公式一覽表(162)
96．函式的增量的公式(162)
97．求導數的幾個簡單法則(164)
98．複合函式的導數(166)
99．例題(166)
100．單側導數(172)
101．無窮導數(173)
102．特殊情形的例題(174)
§2．微分
103．微分的定義(174)
104．可微性與導數存在之間的關係(176)
105．微分法的基本公式及法則(177)
106．微分的形式不變性(179)
107．微分是近似公式的來源(180)
108．套用微分來估計誤差(183)
§3．微分學的基本定理
109．費馬定理(185)
110．達布(G．Darboux)定理(186)
111．羅爾定理(186)
112．拉格朗日公式(187)
113．導數的極限(189)
114．柯西公式(190)..
§4．高階導數及高階微分
115．高階導數的定義(191)
116．任意階導數的普遍公式(193)
117．萊布尼茨公式(196)
118．例題(198)
119．高階微分(200)
120．高階微分的形式不變性的破壞(201)
121．參變數微分法(202)
122．有限差分(203)
§5．泰勒公式
123．多項式的泰勒公式(205)
124．任意函式的展開式·餘項的佩亞諾式(207)
125．例題(210)
126．餘項的其他形式(214)
127．近似公式(216)
§6．插值法
128．插值法的最簡單問題．拉格朗日公式(221)
129．拉格朗日公式的餘項(222)
130．有重基點的插值法．埃爾米特公式(223)
第四章 利用導數研究函式
§1．函式的動態的研究
131．函式為常數的條件(226)
132．函式為單調的條件(228)
133．不等式的證明(231)
134．極大值及極小值．必要條件(234)
135．充分條件．第一法則(235)
136．例題(236)
137．第二法則(240)
138．高階導數的套用(242)
139．最大值及最小值的求法(244)
140．套用題(245)
§2．凸(與凹)函式
141．凸(與凹)函式的定義(249)
142．關於凸函式的簡單命題(250)
143．函式凸性的條件(252)
144．詹森不等式及其套用(254)
145．拐點(256)
§3．函式的作圖
146．問題的提出(258)
147．作圖的步驟·例題(258)
148．無窮間斷·無窮區間·漸近線(261)
149．例題(263)
§4．不定式的定值法
150．型不定式(266)
151．型不定式(271)
152．其他型的不定式(273)
§5．方程的近似解
153．導言(275)
154．比例法則(弦線法)(276)
155．牛頓法則(切線法)(279)
156．例題及習題(281)
157．聯合法(285)
158．例題及習題(286)
第五章 多元函式
§1．基本概念
159．變數之間的函式關係·例題(290)
160．二元函式及其定義域(291)
161．n維算術空間(293)
162．n維空間內的區域舉例(297)
163．開域及閉域的一般定義(299)
164．n元函式(301)
165．多元函式的極限(302)
166．變成整序變數的情形(304)
167．例題(306)
168．累次極限(308)
§2．連續函式
169．多元函式的連續性及間斷(310)
170．連續函式的運算(312)
171．在域內連續的函式·布爾查諾一柯西定理(312)
172．布爾查諾一魏爾斯特拉斯引理(314)
173．魏爾斯特拉斯定理(316)
174．一致連續性(316)
175．博雷爾引理(318)
176．基本定理的新證明(319)
§3．多元函式的導數及微分
177．偏導數及偏微分(321)
178．函式的全增量(324)
179．全微分(326)
180．二元函式的幾何說明(328)
181．複合函式的導數(331)
182．例題(332)
183．有限增量公式(334)
184．沿給定方向的導數(336)
185．(一階)微分的形式不變性(338)
186．套用全微分子近似算法(340)
187．齊次函式(342)
188．歐拉公式(343)
§4．高階導數及高階微分
189．高階導數(344)
190．關於混合導數的定理(346)
191．推廣到一般情形(349)
192．複合函式的高階導數(350)
193．高階微分(351)
194．複合函式的微分(354)
195．泰勒公式(355)
§5．極值·最大值及最小值
196．多元函式的極值·必要條件(357)
197．充分條件(二元函式的情形)(359)
198．充分條件(一般情形)(363)
199．極值不存在的條件(366)
200．函式的最大值及最小值·例題(367)
201．套用問題(371)
第六章 函式行列式及其套用
§1．函式行列式的性質
202．函式行列式(雅可比式)的定義(380)
203．雅可比式的乘法(381)
204．函式矩陣(雅可比矩陣)的乘法(383)
§2．隱函式
205．一元隱函式的概念(385)
206．隱函式的存在(387)
207．隱函式的可微性(389)
208．多元的隱函式(391)
209．隱函式導數的求法(396)
210．例題(399)
§3．隱函式理論的一些套用
211．相對極值(403)
212．拉格朗日不定乘數法(406)
213．相對極值的充分條件(407)
214．例題及套用題(408)
215．函式的獨立性的概念(412)
216．雅可比矩陣的秩(414)
§4．換元法
217．一元函式(418)
218．例題(420)
219．多元函式．自變數的變換(422)
220．微分的求法(423)
221．換元的一般情形(425)
222．例題(427)
第七章 微分學在幾何上的套用
§1．曲線及曲面的解析表示法
223．平面曲線(直角坐標系)(436)
224．例題(438)
225．機械性產生的曲線(441)
226．平面曲線(極坐標系)例題(444)
227．空間的曲面和曲線(448)
228．參變數表示式(449)
229．例題(451)
§2．切線及切面
230．用直角坐標系時平面曲線的切線(454)
231．例題(455)
232．用極坐標系時的切線(457)
233．例題(458)
234．空間曲線的切線·曲面的切面(459)
235．例題(463)
236．平面曲線的奇異點(464)
237．曲線用參變數表示式的情形(468)
§3．曲線的相切
238．曲線族的包絡(469)
239．例題(472)
240．特徵點(475)
241．二曲線相切的階(477)
242．曲線之一用隱式表示的情形(479)
243．密切曲線(480)
244．密切曲線的另一求法(482)
§4．平面曲線的長
245．引理(482)
246．曲線的方向(484)
247．曲線的長．弧長的可加性(485)
248．可求長的充分條件·弧的微分(486)
249．用弧作為參變數．切線的正向(489)
§5．平面曲線的曲率
250．曲率的概念(491)
251．曲率圓及曲率半徑(494)
252．例題(496)
253．曲率中心的坐標(499)
254．漸屈線及漸伸線的定義；漸屈線的求法(501)
255．漸屈線及漸伸線的性質(503)
256．漸伸線的求法(506)
附錄 函式擴充的問題
257．一元函式的情形(508)
258．關於二維空間的問題(509)
259．輔助命題(511)
260．關於擴充的基本定理(514)
261．推廣到一般情況(515)
262．總結(516)
索 引...
校訂後記
