高等數學進階

《高等數學進階》是2019年清華大學出版社出版的圖書，作者是王學武。

基本介紹

• 書名：高等數學進階
• 作者：王學武
• 出版社：清華大學出版社
• 出版時間：2019年04月01日
• ISBN：9787302519195

內容簡介

全書共11章，每章首先列出必須牢記、理解的基本概念，需要掌握、運用的基本結論，以及本章涉及的基本方法。然後，分節解析基本概念；簡述定理、性質等基本結論；通過考研題型，給出常規的、完備的解題基本方法，並用適當例題解讀方法、總結規律，給出各類題型解題方法綜述；最後配有全面的、系統的、與考研題型相似的、與考研難度一致的練習題。每章安排一節對2003—2019年的數一和數三的高等數學部分考研真題進行分類、歸納、對比、分析，並套用本書研究的此類題型的解法處理和解決這些考研真題。

目錄

第1章數列、函式、極限與連續1

1.1數列極限的求法2

題型1計算數列極限（3）;

題型2證明數列收斂、並求極限（9）

1.2函式極限的求法13

題型3計算函式極限（18）

1.3函式的連續性27

題型4討論函式的連續性、求函式的間斷點、判斷間斷點所屬類型（28）

1.4關於函式、極限與連續的常見考研題型31

題型5未知常數的確定（31）;

題型6計算含有變限積分函式的極限（35）;

題型7計算抽象函式的極限（35）;

題型8求無窮小的階數和階的比較（37）

1.5數列、函式、極限與連續考研真題40

1.6本章練習題答案與提示50

第2章導數與微分60

2.1導數的求法60

題型1求函式在一點的導數（62）;

題型2求初等函式的導數（63）;

題型3求非初等函式的導數（65）

2.2高階導數的求法74

2.3導數與微分考研真題78

2.4本章練習題答案與提示82

第3章一元函式不定積分與定積分88

3.1不定積分89

題型1用湊微分、變數代換、分部積分法求不定積分（90）;

題型2求有理函式的不定積分（95）;

題型3求無理函式的不定積分（99）;

題型4求三角函式的不定積分（102）;

題型5求分段函式的不定積分（106）

3.2定積分107

題型6用變數代換、分部積分法計算定積分（109）;

題型7計算對稱區間的定積分（112）;

題型8計算非初等函式的定積分（114）;

題型9用換元變換計算定積分（115）;

題型10計算反常積分（廣義積分）（117）

3.3一元函式積分考研真題119

3.4本章練習題答案與提示124

第4章連續性定理與微積分中值定理133

4.1不等式與存在性的證明133

題型1方程根（函式零點）的討論（135）;

題型2證明不等式（138）;

題型3存在一點滿足等式的證明（143）;

題型4存在兩點滿足等式的證明（151）

4.2定積分等式與不等式的證明155

題型5定積分等式的證明（156）;

題型6定積分存在性的證明（157）;

題型7定積分不等式的證明（158）

4.3連續性定理與微分中值定理考研真題163

4.4本章練習題答案與提示167

第5章一元函式微積分的套用174

5.1函式圖像的幾何性質175

題型1求函式的極值點和極值（176）;

題型2求函式的單調區間（176）;

題型3求函式的最大值和最小值（176）;

題型4求函式的凹凸區間和拐點（176）;

題型5求曲線的切線、法線和漸近線（177）

5.2微元法在計算面積、體積、弧長中的套用181

題型6計算平面圖形的面積（182）;

題型7計算空間體的體積（183）

5.3微元法在物理上的套用188

題型11計算液體壓力（188）;

題型12計算物體之間的引力（190）;

題型13計算變力做功（191）;

題型14計算物體的質量（192）

5.4微積分在經濟中的套用194

題型15計算成本、收益、利潤、彈性以及邊際、平均成本、收益、利潤（195）

5.5一元函式微積分的套用考研真題199

5.6本章練習題答案與提示207

目錄目錄第6章微分方程213

6.1一階微分方程的解法214

題型1求可分離變數方程的解（214）;

題型2求齊次方程的解（215）;

題型3求一階線性方程的解（215）;

題型4求伯努利方程的解（216）;

題型5求全微分方程的解（217）;

題型6利用簡單的變數替換求一階方程的解（218）

6.2二階微分方程的解法220

題型7求二階常係數線性齊次方程的解（221）;

題型8求二階常係數線性非齊次方程的通解（221）;

題型9求可降階的二階微分方程的解（224）;

題型10求n階常係數線性齊次方程的解（225）;

題型11求函式的表達式（226）

6.3差分方程的解法229

題型12求一階差分方程的解（230）;

題型13求二階差分方程的解（231）

6.4常微分方程考研真題232

6.5本章練習題答案與提示239

第7章無窮級數244

7.1數項級數斂散性的判別方法245

題型1判別正項級數的斂散性（246）;

題型2判別交錯級數的斂散性（248）;

題型3判別任意項級數的斂散性（250）

7.2冪級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域252

題型4求冪級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域（254）

7.3求和函式與數項級數的和257

題型5求冪級數的和函式（259）;

題型6求數項級數的和（262）

7.4函式展成冪級數264

題型7函式展成麥克勞林級數（265）;

題型8函式展成泰勒級數（268）

7.5傅立葉級數270

題型9傅立葉級數的收斂域與傅立葉級數在一點的和（272）;

題型10函式展成傅立葉級數（273）;

題型11函式展成正弦級數和餘弦級數（273）;

題型12函式展成一般周期的傅立葉級數（274）

7.6無窮級數考研真題276

7.7本章練習題答案與提示285

第8章多元函式連續、偏導數、全微分及其套用292

8.1多元函式連續、偏導數和全微分293

題型1求二元函式的極限（294）;

題型2證明二元函式極限不存在（294）;

題型3求多元函式的偏導數（295）;

題型4求多元函式的全微分（296）;

題型5討論二元函式連續性、偏導存在性和可微性（297）;

題型6求抽象複合函式的偏導數（299）;

題型7求隱函式和隱函式組的偏導數（300）

8.2多元函式的極值與最值307

題型9求二元函式的極值點和極值（307）;

題型10求多元函式的條件極值或最值（308）;

題型11求二元函式在有界閉區域上的最值（309）

8.3偏導數在幾何上的套用311

題型12求空間曲線的切線方程和法平面方程（311）;

題型13求曲面的切平面方程和法線方程（313）

8.4多元函式連續、偏導數與全微分及其套用考研真題313

8.5本章練習題答案與提示321

第9章重積分327

9.1二重積分328

題型1交換累次積分的積分次序（333）;

題型2直角坐標與極坐標的累次積分轉化（334）;

題型3計算對稱區域上的二重積分（335）;

題型4計算非初等函式的二重積分（336）;

題型5利用坐標變換計算二重積分（337）;

題型6二重積分的解答與證明（338）

9.2三重積分341

題型7計算三重積分（343）;

題型8利用柱面坐標變換和球面坐標變換計算三重積分（345）

9.3重積分的套用350

題型9計算物體的質量、質心、轉動慣量和引力（351）

9.4重積分考研真題352

9.5本章練習題答案與提示359

第10章曲線積分與曲面積分365

10.1曲線積分366

題型1計算第一類曲線積分（368）;

題型2計算第二類曲線積分(對坐標的曲線積分)（370）;

題型3計算與路徑無關的平面曲線積分（374）;

題型4曲線積分的等式與不等式的證明（376）

10.2曲面積分379

題型5計算第一類曲面積分(對面積的曲面積分)（380）;

題型6計算第二類曲面積分(對坐標的曲面積分)（383）

10.3向量場的通量與散度、環流量與旋度388

題型7計算通量、散度、環流量和旋度（389）

10.4曲線積分與曲面積分的簡單套用390

題型8計算曲線和曲面的質量、質心、形心、轉動慣量和引力（391）

10.5曲線積分和曲面積分考研真題393

10.6本章練習題答案與提示398

第11章向量代數與空間解析幾何406

11.1向量及其運算406

題型1向量與向量運算（408）

11.2平面與直線及其方程410

題型2求直線方程和平面方程（411）

11.3曲面及其方程414

題型3求旋轉曲面方程與投影（415）

11.4向量代數與空間解析幾何考研真題417

11.5本章練習題答案與提示418