麥克勞林級數

麥克勞林級數

麥克勞林級數(Maclaurin series)是函式在x=0處的泰勒級數,它是牛頓(I.Newton)的學生麥克勞林(C.Maclaurin)於1742年給出的,用來證明局部極值的充分條件,他自己說明這是泰勒級數的特例,但後人卻加了麥克勞林級數這個名稱。

基本介紹

  • 中文名:麥克勞林級數
  • 外文名:Maclaurin series
  • 所屬學科:高等數學
  • 簡介:函式在x=0處的泰勒級數
  • 提出者:麥克勞林(C.Maclaurin)
基本介紹,麥克勞林級數展開的條件及方法,

基本介紹

對於一個給定的函式f(x),如果能找到一個冪遷民級數
,使
成立,則稱f(x)可展開成x的冪級數。但要將f(x)展開成x的一個冪級數,需解決兩個以下問凶束糠端題:
(1)如何確定式備迎再(1)中的係數
?
(2)按所求得的係數,這個冪級數在它的收斂域內的和函式是否就是f(x)?
先解決問題(1),不妨設式(1)成立。那么。根據拜腳地冪級數可以逐項求導的性質,依次求出式(1)中的各階導數:
把x=0代人式(1)及上述各式,得
於是
把它們代回式(1),得
通常稱式(2)為f(x)的麥克勞林展開式或f(x)在x=0處的嫌院淚冪級數展開式。式(2)中等號右端的級數稱為f(x)的麥提霉主克勞林級數或勸台采殼f(x)展開成x的冪級數。
至於問題(2)。只要證明其餘項滿足
即可(證明略)。
下面考慮在什麼條件下,函式f(x)能展開成麥克勞林級數。
可見,按公式
求得係數的冪級數在它的收斂域內的和函式就是f(x)。

麥克勞林級數展開的條件及方法

定理1設函式f(x)的麥克勞林級數的收斂半徑R>0,當n→∞時,如果函式f(x)在任一固定點x處的n階導數f(x)有界,則函式f(x)在收斂區間(-R,R)內能展開成麥克勞林級數。即
把函式f(x)展開成冪級數,有直接展開法間接展開法
直接展開法
利用麥克勞林級數公式將函式f(x)展開成x的冪級數的方法,稱為直接展開法。步驟可歸納為:
(1)求出f(x)的各階導數
,令
(2)寫出f(x)的麥克勞林級數
並求出收斂半徑R。
間接展開法
利用麥克勞林級數展開函式,需要求高階導數,比較麻煩,如果能利用已知函式的展開式,根據冪級數在收斂域內的性質,將所給的函式展開成冪級數,這種方法稱為間接展開法。

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