《高等數學競賽培訓教程——高等數學例題精選（第2版）》是2016年清華大學出版社出版的圖書，作者是蔡燧林。
基本介紹
- 中文名：高等數學競賽培訓教程——高等數學例題精選（第2版）
- 作者：蔡燧林
- 出版時間：2016年04月01日
- 出版社： 清華大學出版社
- ISBN：9787302432289
- 定價：49 元
內容簡介,圖書目錄,
內容簡介
本書第1版於2011年問世，頗受讀者及競賽組織者的歡迎，讀者可能已經看到，本書第1版中收集的某些題，與之後的某些競賽題同，說明這些題有代表性，第1版經3次印刷，已告罄，現將本書修改再版.再版主要修改的有：刪去每章前的“主要內容”提要，以便不受其影響；刪去一些過於簡單的例題和習題，收集進了某些競賽中有意思的題，這些題大都是基礎性的，但有技巧.除此之外，各章增添的內容大致有以下幾個方面.
1.關於映射的不動點問題以及映射的疊代的題，增添了某些數列極限的題.
2.增刪了一些用微分學或積分學處理的不等式問題和零點問題的題.
3.反常積分是競賽中經常涉及的內容，其中頗多技巧.今將反常積分單獨列為一大段，介紹了反常積分的極限形式判斂法，狄利克雷判斂法與阿貝爾判斂法，在一定條件下反常積分斂散性與級數斂散性的等價關係，增添了與此相關的內容、例題與習題.
4.增添了以微分方程為背景的有關極值、凹凸性、定義域的題.增加了二階線性微分方程的任意常數變動法，用分部積分求恰當線性微分方程的解，判定線性微分方程為恰當微分方程的充要條件以及與此相關的題.
5.在向量代數與空間解析幾何一章中，引入了蘇聯人編寫的《數學手冊》中關於二次曲面用它的係數十分細緻的具體分類，以饗讀者.並且增添了討論兩二次曲面（或平面與二次曲面）相交的某些幾何特徵的題，求一般柱面方程及錐面方程的題.
6.類似於定積分的分部積分法，增添了二重積分與三重積分的分部積分法，增添了二重積分與三重積分的曲線（面）坐標變換，巧妙地利用廣義極坐標、廣義球坐標計算積分，用微元法計算三重積分、曲線積分與曲面積分，以及與它們有關的題.
7.增添了分母為二次式的有理函式展開成麥克勞林級數並判定餘項趨於零的題.一般教科書，只介紹其分母可分解為兩實因式之積的情形，並且採用間接展開法從而避開了餘項的討論.作者悉心研究得出，無論是分母可分解為兩實因式或否，在實數範圍內都可用直接法求出此函式的麥克勞林級數並方便地證明其餘項在收斂域內趨於零.如果引入復係數，那么眾所周知，也可用間接展開法展開成麥克勞林級數.作者將此結果在此書中獻給讀者.
修改後，本書共有例題362道，習題430道，與第1版相比，例題與習題增刪總量以及全書篇幅的改動超過30%.
本書第2版不但仍可作為競賽培訓教程，並且也可以作為高等數學及工科數學分析教材的教輔書，供有關學生特別是有關老師參考.作者在此還應向本書引用的競賽題的組織者和命題人致謝，感謝他們的大力支持.
蔡燧林2015年10月於浙江大學數學科學學院第1版前言摘錄高等數學競賽培訓教程——高等數學例題精選（第2版）第1版前言摘錄
高等學校（特別是理工類）師生，為講授、學習高等數學，常因例題、習題過淺而提高不了興趣或掌握不了問題的實質.參加競賽，也只能抱著試試看的心情倉促上馬，準備時也因缺少參照物而無法下手.數學專業的學生，也可能因運算在某些方面比不上其他理工類的學生而感到煩惱.本書就是為填補這些空白而編寫的.
全書共分8章，每章分若干節，每節分若干大段.由於篇幅不能太長，所以本書中不列出定義、定理、公式.而對於一般教科書上未深入提及的某些概念之間的關係和重要定理的證明，以及一些方法的闡述，在本書中有時用例題的形式，有時通過一些例題的啟發用“分析”與“\[注\]”的形式給予介紹.例如，讀者在本書中將會看到如下一些內容，曲線凹向幾個等價性定義的證明，一般情形下如何求錐面、柱面、旋轉面的方程，二元函式的二重極限與逐次極限，連續，偏導數，全微分，方嚮導數等之間的關係及各種情形下的反例，混合偏導數不相等的例子，多元函式各種積分方法的例子，級數收斂性的阿貝爾判別法與狄利克雷判別法，傅立葉級數的封閉性方程等.
本書中的例題與習題分填空題與解答題兩類.填空題是簡單的計算題或簡單的論證題（例如級數中的判斂），解答題包括計算題、論證題和討論題三種.考研題中的選擇題，將它改造成填空題或論證題.習題中的計算題全有答案，較難的計算題及論證題給出較詳細的提示.
本書中只是在個別題中用到ε\|δ來解題，例如施篤茲定理的證明及與此類似的洛必達法則中只是在分母趨於無窮的情形等某些地方.全書不涉及“一致連續”，“一致收斂”，“確界”，“達布和”，“上、下極限”，“囿變”等數學分析中的概念.
本書在編寫過程中，除參考一般教科書外，還參考了下列書籍：
（1）大學生數學競賽試題研究生入學考試難題解析選編，李心燦等編，機械工業出版社，2005年.
（2）數學分析習題集，吉米多維奇著，高等教育出版社，2010年.
由於作者水平有限，不當之處，敬請讀者在使用本書過程中不吝指正.
蔡燧林2010年7月於浙江大學理學部數學系
圖書目錄
- 第一章函式、極限、連續11.1函式11.2極限61.3函式的連續性25第一章習題31第一章習題答案34第二章一元函式微分學362.1導數與微分362.2導數在研究函式性態方面的套用，不等式與零點問題47第二章習題75第二章習題答案80第三章一元函式積分學833.1不定積分、定積分與反常積分833.2積分的證明題913.3反常積分的計算與判斂113第三章習題124第三章習題答案128第四章常微分方程1324.1基本類型求解1324.2可化成基本類型求解的問題1414.3常微分方程的解的性質的討論159第四章習題167第四章習題答案170第五章向量代數與空間解析幾何1735.1向量代數與平面、直線1735.2曲面與曲線184第五章習題204第五章習題答案205第六章多元函式微分學2076.1函式、極限、連續，偏導數與全微分2076.2多元函式微分學的套用222第六章習題234第六章習題答案238第七章多元函式積分學2427.1二重積分2427.2三重積分2537.3第一型曲線積分與平面第二型曲線積分2647.4曲面積分與空間第二型曲線積分281第七章習題304第七章習題答案309第八章無窮級數3128.1數項級數3128.2冪級數與泰勒級數3348.3傅立葉級數361第八章習題372第八章習題答案377
