歐拉一麥克勞林公式

歐拉一麥克勞林公式

歐拉-麥克勞林公式(Euler-Maclaurin formula)是有關定積分的一種數值計算公式,它建立了函式的積分與其導數的聯繫。在數值積分理論與級數求和法中,Euler-Maclaurin公式是一個極有用的工具。

基本介紹

  • 中文名:歐拉-麥克勞林公式
  • 外文名:Euler-Maclaurin formula
  • 所屬學科:數學
  • 簡介:有關定積分的一種數值計算公式
  • 相關概念:伯努利多項式,梯形公式
基本介紹,相關說明,

基本介紹

歐拉-麥克勞林公式 設函式f(x)在區間[a,b]上有直到v階連續微商,當v≥2時,給出歐拉-麥克勞林公式:
這裡
,Bk伯努利數,Bk(x)是伯努利多項式。可利用伯努利(Bernoulli)多項式的性質證明歐拉-麥克勞林公式。

相關說明

下面對歐拉-麥克勞林公式作些說明:
1.係數中用到的伯努利數伯努利多項式都可由表查得,故此公式用起來很方便。
2.歐拉-麥克勞林公式可以被看作[a,b]上改善了的梯形公式,右端第二部分可看成修正項,最後那項看成餘項。
3.歐拉-麥克勞林公式被套用時一般都取v為偶數,這是因為估計餘項時使得餘項里積分號下的因子
不變號的緣故。又因具奇標號的伯努利數等於零(除
外)。所以歐拉-麥克勞林公式可以寫成
其中
4.由於上面的餘項表達式中包含有伯努利數,而伯努利數是隨著k之增大而增大非常快的。故餘項有時會趨向無窮。故使用這個公式時不應把k取得太大。一般用起來取2k=6,這時相應的伯努利數取最小值。又因餘項里含有因子
也是使k不宜取得過大的原因。

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