頻率回響函式

頻率回響函式表征了測試系統對給定頻率下的穩態輸出與輸入的關係。這個關係具體是指輸出、輸入幅值之比與輸入頻率的函式關係，和輸出、輸入相位差與輸入頻率的函式關係。這兩個關係稱為測試系統的頻率特性。頻率回響函式一般是一個複數。

頻率回響函式直觀地反映了測試系統對各個不同頻率正弦輸入信號的回響特性。通過頻率回響函式可以畫出反映測試系統動態特性的各種圖形，簡明直觀。此外，很多工程中的實際系統很難確切地建立其數學模型，更不易確定其模型中的參數，因此要完整地列出其微分方程式並非易事。所以，工程上常通過實驗方法，對系統施加激勵，測量其回響，根據輸入、輸出關係可以確立對系統動態特性的認識。因而頻率回響函式有著重要的實際意義。

基本介紹

• 中文名：頻率回響函式
• 外文名：frequency response function
• 所屬學科：數理科學
• 形式：複數形式
• 相關概念：幅頻特性、相頻特性等

概念

在系統傳遞函式 已經知道的情況下，若系統是穩定的，令 中 的實部為零，即令 代入 ，可以得到系統的頻率回響函式 。對於定常線性系統，有

式中： 。

若在 時刻將輸入信號接人定常線性系統，令 代入拉普拉斯變換中，實際上是將拉普拉斯變換變成傅立葉變換。又由於系統的初始條件為零，因此系統的頻率回響函式 就成為輸出 、輸入 的傅立葉變換 之比，即

上式告訴我們，在測得輸出 和輸入 後，由其傅立葉變換 可求得頻率回響函式 。

需要注意的是，頻率回響函式是描述系統的簡諧輸入和其穩態輸出的關係，在測量系統頻率回響函式時，必須在系統回響達到穩態階段時才能測量。

頻率回響函式是複數，因此可以改寫為

式中： ——系統的幅頻特性；

—— 系統的相頻特性；

—— 系統的實頻特性；

—— 系統的虛頻特性。

顯然有

由上可見，系統的幅頻特性 、相頻特性 、實頻特性 、虛頻特性 都是輸入頻率 的實函式。

意義

根據定常線性系統的頻率保持性，系統在簡諧信號 的激勵下，所產生的穩態輸出也是簡諧信號） 。此時輸入和輸出雖為同頻率的簡諧信號，但兩者的幅值並不一樣，其幅值比 隨頻率 而變，是 的函式。相位差 也是頻率 的函式。

可以證明，定常線性系統在簡諧信號的激勵下，其穩態輸出信號和輸入信號的幅值比就是該系統的幅頻特性，即；穩態輸出對輸入的相位差就是該系統的相頻特性，即。兩者統稱為系統的頻率特性。因此，系統的頻率特性就是系統在簡諧信號激勵下，其穩態輸出對輸入的幅值比、相位差隨激勵頻率變化的特性。

儘管頻率回響函式是對簡諧激勵而言的，但是任何信號都可分解成簡諧信號的疊加。因而在任何複雜信號輸入下，系統頻率特性也是適用的。這時，幅頻、相頻特性分別表征系統對輸入信號中各個頻率分量幅值的縮放能力和相位角前後移動的能力。

其實，用頻率回響函式來描述系統的最大優點是它可以通過實驗來求得。實驗求得頻率回響函式的原理，比較簡單明了。可依次用不同頻率的簡諧信號去激勵被測系統，同時測出激勵和系統的穩態輸出的幅值和相位差。這樣對於某個，便有一組和，全部的和，便可表達系統的頻率回響函式。

上述逐點改變簡諧信號頻率，測出頻率回響函式的實驗方法是一種基本的傳統方法。顯然這是十分繁瑣費時的。近代隨著計算機以及數位訊號分析技術的飛速發展，可利用脈衝信號或隨機噪聲（如白噪聲）信號作為系統的輸入，運用快速傅立葉變換( FFT)技術，可很快得到頻率回響函式。

與傳遞函式

傳遞函式是在複數域中來描述和考察系統的特性的，比在時域中用微分方程來描述和考察系統特性有許多優點。但是工程中的許多系統卻極難建立其微分方程式和傳遞函式，而且傳遞函式的物理概念也很難理解。

頻率回響函式是在頻率域中描述和考察系統特性的。與傳遞函式相比較，頻率回響函式的物理概念明確，也易通過實驗來建立；利用它和傳遞函式的關係，由它極易求出傳遞函式。因此頻率回響函式是實驗研究系統的重要工具。

圖形表示法

幅頻特性曲線和相頻特性曲線

以為自變數，以和為因變數畫出的曲線曲線和曲線分別稱為系統的幅頻特性曲線和相頻特性曲線。它表示輸出與輸入的幅值比和相位差隨頻率的變化關係。

伯德圖

對自變數取對數作為橫坐標，以和作縱坐標，畫出的曲線，即作和曲線，兩者分別稱為對數幅頻特性曲線和對數相頻特性曲線，總稱為伯德圖(Bode圖)。它把軸按對數進行了壓縮，便於對較寬範圍的信號進行研究，觀察起來一目了然，繪製容易，使用方便。

奈魁斯特圖

曲線和分別稱為系統的實頻特性和虛頻特性曲線。如果將的虛部和實部分別作為縱、橫坐標，則曲線稱為奈魁斯特圖(Nyquist圖)．它反映了頻率變化過程中系統回響的變化。