非標準全域

非標準全域是標準全域非標準模型,它是另一個超結構的子集。非標準全域也可用公理方法建立。

基本介紹

  • 中文名:非標準全域
  • 外文名:nonstandard universe
  • 適用範圍:數理科學
簡介,性質,公理,

簡介

非標準全域是標準全域非標準模型,它是另一個超結構的子集。
設U=V(S)是一個以S為個體集的標準全域,I為指標集(I可取自然數集或更大的集合),𝒰為I 上的一個自由超濾子,
是I到S的一切函式(I-序列)之集,即
,其中{ai}表示I到S的一個函式
上定義等價關係:
,若且唯若
∈𝒰,這個等價關係簡單地寫成
,a.e。令*
,以*S為個體集的超結構記為V(*S)。

性質

標準全域U=V(S)的非標準全域*U=*V(S)是V(*S)的一個子集,它的元素按如下方式歸納地選自V(*S)。
設{Ai}是V(S)中元素的一個I序列,若存在一個p∈N,使得
,則稱序列{Ai}是有界的。若序列{Ai}是有界的,則存在一個最小的j∈N,使得
𝒰,這個j稱為序列{Ai}的秩。對於每個有界序列{Ai},可以按秩歸納地選取一個元素A∈V(*S),並記A= <Ai>:若{Ai}的秩為0,令A=<Ai>,即*S中的一個元素。
假設對於秩小於j的每個序列{Bi}已經定義了對應的元素<Bi>,並且{Ai}的秩為j,則定義
的秩小於j,並且
這樣就完成了非標準全域*U=*V(S)的定義。*V(S)中的元素稱為內的,V(*S)\*V(S)中的元素稱為外的。由上述定義,*S中的元素都是內的,因而沒有外的個體。上述構造非標準全域的方法稱為超冪構造。

公理

非標準全域也可用公理方法建立如下。設V(S)和V(*S)分別是以S和*S為個體集的兩個超結構,嵌入映射*:V(S) →V(*S)滿足如下兩條公理:
擴張原理。*S是S的真擴張,即
,並且對於每個a∈S,有*a=a;
轉換原理。標準全域的語言L(V(S))中的句子φ在V(S)中為真,若且唯若它的*-轉換*φ在V(*S)中為真。*φ是把φ中出現的常元符號a全部換成它的*-像的符號*a得到的句子。若A∈V(S)\S,則*A 稱為標準集合,V(* S)中的元素是內的,若且唯若它是某個標準集合的元素。所有內的元素構成的集合記為*V(S),它就是標準全域V(S)對應的非標準全域。

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