零態射

零態射

零態射(zero morphism)是有零對象範疇中的一類特殊態射。許多常見範疇,如群範疇、環範疇、環模疇等,將它們的零同態概念抽象出來即得零態射的概念,它在範疇論中起著相當重要的作用。設範疇C有零對象(在等價意義下必惟一)Z,Hom(A,Z)與Hom(Z,B)的惟一元素分別為0AZ和0ZB。其合成0ZB0AZ不隨Z的選擇而改變,記此合成為0AB,稱為Hom(A,B)中的零態射,對取定的A,B,這是惟一的,有時也簡記為0。

基本介紹

  • 中文名:零態射
  • 外文名:zero morphism
  • 所屬學科:數學(範疇論)
  • 性質:有零對象的範疇中的一類特殊態射
  • 相關概念:零對象、範疇、對偶原則等
基本介紹,零對象與零態射,定義,例題解析,相關定理,

基本介紹

範疇
有零對象,則在同構意義下是唯一的。設Z是任意一個零對象
中唯一的元素,則乘積
不隨零對象的選取而改變。
通常以
來表示乘積
,這裡Z是任一零對象,這個
叫作
中的零態射。

零對象與零態射

定義

定義1 若對任何對象
一定是單元集( 即僅含有一個元的集合),則叫作始對象;若對任何對象
一定是單元集,則叫作終對象; 若Z既是始對象又是終對象,則Z稱為零對象
始對象與終對象是相互對偶的概念。
定義2
是一個範疇。
1)如果如果
滿足:對於任意的
恰由一個元素組成,則稱A 為
中的一個初始對象;
2)如果對於任意的
恰由一個元素組成,則稱A 為
中的一個末端對象;
3)如果A 既是
中的初始對象,又是末端對象,則稱A 為
的一個零對象
如果
有零對象,則稱
為具有零對象的範疇。
為具有零對象0的一個範疇,X 和Y 是
中任意兩對象,則有唯一的態射
於是,有複合態射
態射
稱為零態射,記為

例題解析

例1
是一個初始對象;任一單元素集是一個末端對象;但無零對象。
例21)平凡(即一個元素的)BCK-代 數 是
中 的一 個零對象;
2)平凡BCI-代數是
中的一個零對象;
3)平凡BCH-代數是
中的一個零對象;
4)平凡(2,0)型代數是
中的一個零對象;
5)平凡群
是中的一個零對象。
例3在A(2,0)中,零態射
正是通常的零同態映射。在
中都可得到此類似結果,這正是將
稱為零態射的一個原因。

相關定理

定理1 假若
是在範疇
中的一個零態射,那么
定理2在一個範疇
中的始對象與終對象是對偶的,從而零對象是自對偶的。
證明:
表示範疇
中始對象的定義。於是
中的始對象,假若對於
中的每一X,
恰有一個成員。
中驗始對象,假若對於
中的每一對象X,
恰有一個成員。
中的終對象,假若對於
中的每的X,
恰有一個。
定理3 在一個範疇
中,一切初始對象是同構的,一切末端對象是同構的;如果
有零對象,則一切零對象是同構的。
定理4
是具有零對象0的一個範疇,則對於
中的任何態射
證明:證(1)中第一式。由圖1,其中
分別是
中唯一的態射,且
,顯然,
,從而,
2) (1)中第二式可類似地證明。

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