離散賦值

離散賦值是一種特殊的賦值，即值域為實數集的離散子集的非阿基米德賦值。離散賦值環對應於離散賦值。設(R，m)是一個維數為1的諾特局部環，如果m可以由一個元素生成，則稱R是離散賦值環。離散賦值環一定是整環。

基本介紹

• 中文名：離散賦值
• 外文名：discrete valuation
• 所屬學科：環論
• 定義：一種特殊的賦值

定義

定義1

若賦值v的賦值群G為，則稱v為離散賦值，相應的賦值環為離散賦值環。

定義2

設K為域，K*為非零元組成的乘性子群。K的離散賦值為滿同態ν:K*→，並滿足ν(x+y)≥Inf(ν(x),ν(y))，x,y∈K*，且通過定義ν(0)=∞，可將ν擴張至K。

簡介

當一階賦值φ的值群為無限循環群時,則φ稱為離散賦值。

例如，關於有理數域Q。設p是一個素數，那么每個有理數α≠0都可惟一地寫成的形式，其中b、с是與p互素的整數，v(α)∈Z。規定，以及φ(0)=0。不難驗知，φ滿足賦值的條件，而且是一個離散賦值，稱之為Q的p進賦值。

離散賦值環

【discrete valuation ring】

設(R，m)是一個維數為1的諾特局部環，如果m可以由一個元素生成，則稱R是離散賦值環。

離散賦值環一定是整環。

設(R，m)是一個維數為1的諾特局部整環，則下列條件等價：

（1）R是離散賦值環；

（2）R的每個非零理想都是m的一個方冪；

（3）存在a∈R使得R的每個非零理想都具有形式(aᵏ)，k≥0。

離散賦值環對應於離散賦值。假設R是離散賦值環，F是R的商域。令

這裡，。則𝓋是F的一個離散賦值。

例如，設p是素數，則是離散賦值環。