離散變數

變數按其數值表現是否連續，分為連續變數和離散變數。離散變數指變數值可以按一定順序一一列舉，通常以整數位取值的變數。如職工人數、工廠數、機器台數等。有些性質上屬於連續變數的現象也按整數取值，即可以把它們當做離散變數來看待。例如年齡、評定成績等雖屬連續變數，但一般按整數計算，按離散變數來處理。離散變數的數值用計數的方法取得。

離散變數的機率分布，常用的有二項分布、泊松(Poisson)分布。其餘的還有兩點分布、幾何分布、超幾何分布等機率分布。

基本介紹

• 中文名：離散變數
• 外文名：discrete variable
• 學科：統計學
• 性質：數值只能用自然數或整數單位計算

基礎知識

基本介紹

為了表達上的簡潔和方便，用變數表示隨機事件的所有可能的結果，稱為隨機變數。隨機變數的取值與對應的機率值之間的對應關係稱為機率分布。變數就是可變的數量標誌。變數值就是變數的具體表現，也就是可變數量標誌的數值表現。例如，職工人數是一個變數；某工廠有工人852人，另一個工廠有工人743人，第三個工廠有工人802人，等等，這是工人這個變數的具體數值，也就是變數值。用統計符號表示，X是工人的變數，其變數值為 。必須注意變數和變數值的區別。例如，有工人30人、40人、50人、60人等四個值，要求其平均數。這時，不能說是四個“變數”的平均，因為這裡只有“工人”這一個變數，並沒有四個變數；所以要平均的是這個變數的四個數值，即四個變數值。

變數按其數值表現是否連續，分為連續變數和離散變數。連續變數的數值是連線不斷的，相鄰兩值之間可作無限分割，例如，身高、體重、年齡等都是連續變數。年齡一般雖按整數計算，但如嚴格按出生時間起算，是可以細算到許多位小數的。連續變數的數值要用測量或計算的方法取得。離散變數的各變數值之間都是以整數斷開的，如人數、工廠數、機器台數等，都只能按整數計算。離散變數的數值只能用計數的方法取得。

定義

可取值能一個個列出來的變數稱為離散變數，可取值能充滿一個區間的變數稱為連續變量。10名患者痊癒人數 及擲幣結果 是離散變數。正常人體溫的測定值 是連續變數。

10名患者，服用甲藥痊癒人數 ，服用乙藥痊癒人數也是 ，可見，僅有隨機變數的可取值無法全面反映藥效，還必須考慮取每一個值的機率。

定義1： 設離散變數 。事件 的機率稱X的機率函式，即

機率函式的對應值表稱機率函式表。圖像稱機率函式圖。機率函式及函式表、圖。都能反映離散變數與機率的對應關係，統稱離散變數的機率分布，實際問題中簡稱為離散總體。

複雜事件 是基本事件的並事件其機率 稱為離散變數X的累積機率。

定理1 若 為離散變數X的機率函式，則累積機率為機率函式之和，即

證明： 由互斥事件加法定理可證。

定理1表示，在x為橫軸．p(x)為縱軸的機率函式圖中。累積機率 表示從 到 之間函式線的長度之和。

複雜事件 就是必然事件。從而得到。離散變數的全部函式線長度之和為1。

定義2 事件 的機率稱為隨機變數X的分布函式。即

由定理1可知。離散變數X的分布函式 是一種累積機率。等於 及其左邊函式線長度之和。即

離散變數的機率分布

離散變數的機率分布，常用的有二項分布、泊松(Poisson)分布。其餘的還有兩點分布、幾何分布、超幾何分布等機率分布。

二項分布

二項分布是基於貝努里(Bernoulli)試驗的分布。貝努里試驗是一種重要的機率模型。是歷史上最早研究的機率論模型之一。有下面兩個特點的試驗稱為貝努里試驗。即

(1) 對立性：每次試驗的結果只可能是A或；

(2) 獨立重複性：每次試驗的結果互不影響。且

擲幣(擲正與擲反)、射擊(擊中與不中)、動物試驗(存活與死亡)、藥物療效(有效與無效)、化驗結果(陽性與陰性)等。都是在重複進行貝努里試驗。

定義3 若隨機變數X的機率函式為

則稱X服從參數為n，p的二項分布。記為或。

泊松分布

若在大量的貝努里試驗中，很小，則稱這種機率模型為稀有事件機率模型。生三胞胎次數、患癌症人數、自然死亡人數、水中的大腸桿菌數、大氣粉塵數、顯微鏡下微粒個數、放射粒子個數、大量產品中的次品數、搖獎中的一等獎等，都是稀有事件機率模型。

若隨機變數X的機率函式為

則稱X服從參數為的泊松分布，記為或。

實際問題中，貝努里試驗在時，可認為是泊松總體，事件A出現的次數。在已知時取，在不全知時取=平均數/單元。

泊松分布的機率函式圖在較小時是偏向一側的，隨著增大，機率函式圖逐漸對稱。

離散變數的其他分布

這裡，介紹離散變數的二點分布、幾何分布、超幾何分布。

定義4： 設離散變數X的機率函式為

則稱X服從參數為的二點分布。

定義5： 設離散變數X的機率函式為

則稱X服從參數為P的幾何分布。

定義6： 設離散變數X的機率函式為

則稱X服從超幾何分布。