離散可積系統邊界問題的研究

《離散可積系統邊界問題的研究》是依託上海大學，由張成擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：離散可積系統邊界問題的研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：張成
• 依託單位：上海大學

中文摘要

可積系統的邊界問題是對帶任意邊界可積系統可積性及其邊值問題的研究。對可積系統邊界條件的選取包含於可積性的定義中，是可積系統研究的根本問題之一，並有著廣泛的數學物理套用。目前將可積邊界條件引入連續可積方程、並對其系統求解的方法有待進一步發展。而對離散可積系統邊界問題的理解同樣處於萌芽狀態。本項目在於研究全離散可積系統的邊界問題，將主要關注以下3個方面內容：（1）研究在任意帶邊界平面圖上離散系統（即帶邊界四邊圖系統）的適定性，數值求解一般性的離散初邊值問題；（2）研究離散可積邊界問題，發展求解離散可積邊界條件及其邊值問題的方法，得到精確解；（3）通過研究離散可積邊界條件的連續極限，拓展連續的帶邊界可積模型，並進一步探索帶邊界連續方程的可積性。本項目的研究將加深對離散系統及其可積性的認識和理解、發展處理離散邊值問題的方法、並為探索一般性處理帶邊界可積系統的方法建立基礎。

結題摘要

可積性的定義依賴於邊界條件，或者說邊界條件是可積內在的性質。一般情況下，周期邊界條件或趨零邊界條件表明可積。一般帶邊界的問題，比如定義在半直線或線段上的可積模型是可積系統理論與套用的重要推廣。帶邊界的模型可以描述更一般的物理現象，更多的數學工具也需要被引入。本項目研究的內容是可積邊界理論在二維經典可積模型與可積鏈式方程中的套用。可積邊界是量子可積理論中衍生出的重要概念，本質是通過量子Yang-Baxter方程與反射方程等代數結構保證帶邊界問題的可積性，即保證有足夠多的可換流。相關概念可以衍生至經典可積系統中的經典Yang-Baxter方程與反射方程，並可以得到一類經典可積模型的可積邊界條件。雖然被證明可積，但是一般性的求解帶邊界模型的方法仍然欠缺。同樣Yang-Baxer方程可以與四邊形鏈式方程的多維相容性相聯繫，相應的反射方程衍生出邊界相容性，刻畫四邊圖上的鏈式方程的可積邊界問題。離散可積邊界這是一個新的研究課題，其一般性質與套用有待發展。本項目的主要成果包括：（1）引入邊界穿衣的方法，用來系統性的精確求解一大類定義在半直線上可積方程；（2）發展了可積鏈式方程的達布變換或共變性，建立了共變性與多維相容的聯繫，將共變性系統性的推廣到整個ABS鏈式方程分類；（3）提出了邊界零曲率方程與邊界矩陣，證明了其與邊界相容性的等價關係；（4）提出了開邊界約化，是可積邊界理論在帶邊界四邊形方程上的推廣 。除此之外，本項目還涉及求解一些特殊的可積模型。以上成果為研究一般性帶邊界的可積系統打下了基礎。這包括邊界相容性的推廣、精確求解代邊界的鏈式方程、精確求解定義線上段上的可積方程等。