關於函式的複合運算複合函式，是按一定次序把有限個函式合成得到的函式，對兩個函式f：A關於函式的複合運算→B，g：B→C，由h(x)=g(f(x))(x∈A)確定的函式h稱為f與g的複合函式，記為g°f，這樣，g°f是A到C的函式，(g°f)(x)=g(f(x))，它的值域是g(f(A))，記號“°”表示兩個函式的複合，它是二元運算.這個運算不滿足交換律，即一般來說g°f≠f°g，但它滿足結合律：對f：A→B，g：B→C，h：C→D，有h°(g°f)=(h°g)°f，於是可以定義h°g°f=h°(g°f)=(h°g)°f，一般地，對n+1個滿足Bi⊆Ai+1(i=1，2，…，n)的函式fi：Ai→Bi(i=1，2，…，n+1)可以定義n重複合函式fn+1°fn°…°f1，任給兩個函式f：A→B，g：C→D，若且唯若f(A)⊆C時可以得到複合函式g°f：A→D；若且唯若g(C)⊆A時可以得到f°g：C→B，當函式用變數表示為t=f(x)，y=g(t)，且f的值域含於g的定義域時，稱t為複合函式y=g(f(x))的中間變數，函式的複合是研究函式的一種工具，一方面它提供了構造各式各樣的新函式的方法；另一方面，為研究複雜的函式，常將它們看成一些簡單函式的複合(求函式的導數時常這樣做)。
基本介紹
- 中文名：關於函式的複合運算
- 所屬學科：數學
- 別名：複合函式
- 相關概念：定義域，值域
定義,複合函式的定義域與值域,相關定理,
定義
設有定義在由集合A到集合B的函式
和定義在集合B到集合C上的函式
，則
和
的複合函式是一個由集合A到集合C的函式，記為
(或記為
)。
對於任意一個元素
，有
，也就是說，如果
是 在函式 作用下的像，並且
是元素b在函式 作用下的像，那么集合C中的元素c就是
在複合函式
作用下的像。
複合函式的定義域與值域
在上述複合函式的定義中，要求函式 的值域包與函式g的定義域相等。實際上，對該條件可以適當放寬，即只要求函式 的值域
是函式g的定義域的子集就可以了。也就是說．若有函式 和函式
，並且有f(A)是集合C的子集，則同樣可以定義一個由集合A到集合D的複合函式g·f。但是，如果 不是集合C的子集，那么，複合函式 就沒有意義了。因此，在上述定義的條件下，儘管複合函式 有意義，但是
不一定有意義，即使 與 都有意義，二者也不一定相等。
例1 設集合
，集合
，集合
，定義在集合A到集合B上的函式 ，
，定義在集合B到集合C上的函式
，求複合函式 。
根據複合函式的定義不難求出
例2設集合 ，並且在由集合A到A自身上定義兩個函式 和函式 ：
解：根據複合函式的定義有：
相關定理
定理1 設對於任意給定的三個函式 ，則有
。
定義 設有定義在集合A到A自身的函式
，且
，則稱函式 為冪等函式。例如，定義在正整數集的冪集上的函式
，將其定義為
，則根據函式 的定義，對於任意一個
為S中所有的素數組成的集合，記為
。而又由於
，所以 ，因此這裡定義的函式 是一個冪等函式。
如果函式 是冪等函式，那么對於所有的正整數n≥1，都有
。
定理 設有函式 和函式 ，那么：
(1) 如果 和 都是單射函式，則複合函式
也是單射函式；
(2) 如果 和 都是滿射函式，則複合函式 也是滿射函式；
(3) 如果 和 都是雙射函式，則複合函式 也是雙射函式。
定理 設有函式 和函式 ，那么：
(1) 如果複合函式 是單射函式，則函式 是單射函式；
(2) 如果複合函式 是滿射函式，則函式g是滿射函式；
(3) 如果複合函式 是雙射函式，則函式 是雙射函式，函式g是滿射函式。
