逆映射

逆映射

設 f:A→B是集合A到集合B上的一一映射,如果對於B中每一個元素b,使b在A中的原象a和它對應,這樣得到的映射稱為映射 f:A→B的逆映射,記作 1/f:B→A。必須是一一對應的單射才能滿足。

基本介紹

  • 中文名:逆映射
  • 外文名:pre-image
  • 學科:數學
  • 前提:必須是一一對應的單射
  • 相關概念:單射、滿射
  • 判定:f是可逆映射,必要且只要f是雙射
定義,性質,判定,

定義

(1)單射:設f是集合A到集合B的一個映射,如果對於任意a,b屬於A,當a不等於b時有f(a)不等於f(b),則稱f是A到B內的單映射 。
(2)滿射:如果對任意的b屬於B都有一個a屬於A使得f(a)=b,則稱f是A到B上的映射,或稱f是A到B的滿映射。
(3)逆映射:設有映射f:A->B,如果存在映射g:B->A使得g*f=IA,f*g=IB其中IA、IB分別是A與B上的恆等映射,則稱g為f的逆映射。
逆映射,用較為通俗但不太嚴格的語言來表述,就是:設有映射f:A—B,若存在映射g:B—A,使得:
1)先執行f,再執行g,執行的結果是gf:A—A,即gf等於A上的恆等映射 ;
2)先執行g,再執行f,執行的結果是fg:B—B,即fg等於B上的恆等映射,則g叫做f的逆映射。畫一個圖,更直觀。
設f:A→B,如果有g:B→A使得g。f=
,f。g=
。則說f是可逆映射。

性質

設f:A→B是可逆映射,那么使得g。f=
,f。g=
的g:B→A是由f唯一確定的(此時記g=
)。
證:如果還有h:B→A使g。h=
,f。h=
,那么可得(g。f)。h=g。(f。h) 但(g。f)。h=
。h=h,g。(f。h)=g。
=g,從而h=g.
。當f:A→B可逆時,這個由f唯一確定的映射:B→A即稱為f的逆映射。

判定

映射f:A→B是可逆映射,必要且只要f是雙射。
證明:如果f是可逆映射,那么,應有映射g:B→A使得g。f=
,f。g=
。由於恆等映射
是單的,則易證f是單射。由於恆等映射
是單的,則易證f是滿射。所以 f是雙射。
  
反過來,如果f:A→B是個雙射,對任意b
B,由於f為雙射,故必有且只有一個a
A使f(a)=b。則按這個規則,B中每一個元素b都有且只有一個a
A與之對應。這個規則(也就是B到A的一個映射)記為g,則g:B→A對任意b
B,g(b)=a,f(a)=b。
則對任意b
B,設f(a)=b則(f。g)(b)=f(g(b))=f(a)=b=
(b),也就是f。g=
同樣,對任意a
A,設f(a)=b,則(g。f)(a)=g(f(a))=g(b)=a=
(a),也就是g。f=

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們