塞瓦定理

塞瓦定理是指在△ABC內任取一點O，延長AO、BO、CO分別交對邊於D、E、F，則 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。

塞瓦(Giovanni Ceva，1648~1734)義大利水利工程師，數學家。塞瓦定理載於塞瓦於1678年發表的《直線論》一書，也有書中說塞瓦定理是塞瓦重大發現。

塞瓦定理記憶法：三頂點選一個作為起點，定一方向，繞一圈，三組比例相乘為1。

基本介紹

• 中文名：塞瓦定理
• 外文名：Ceva's theorem
• 表達式： (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1
• 提出者：喬瓦尼·塞瓦
• 提出時間：1678年
• 套用學科：數學、物理
• 適用領域範圍：平面幾何學
• 適用領域範圍：射影幾何學
• 提出者國家：義大利

驗證推導

（1）本定理可利用梅涅勞斯定理(梅氏定理)證明：

∵△ADC被直線BOE所截，

∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①

∵△ABD被直線COF所截，

∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②

②/①約分得：

(DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1

（2）也可以利用面積關係證明

∵BD/DC=S_△ABD/S_△ACD=S_△BOD/S_△COD=(S_△ABD-S_△BOD)/(S_△ACD-S_△COD)=S_△AOB/S_△AOC ③

同理 CE/EA=S_△BOC/ S_△AOB ④ ，AF/FB=S_△AOC/S_△BOC ⑤

③×④×⑤得

定理推廣

①證明三角形三條高線必交於一點:

設△ABC三邊的高分別為AE、BF、CD，垂足分別為D、E、F，根據塞瓦定理逆定理，因為

，所以三條高CD、AE、BF交於一點。

②三角形三條中線交於一點（重心）:

如右圖：已知，D、E分別為△ABC的邊BC、AC 的中點，連線AD、BE相交於點O，連線CO並延長交AB於F

塞瓦定理證明三條中線交於一點

求證：AF=FB

證明：∵BD=DC，CE=EA

∴BD/DC=1，CE/EA=1

由塞瓦定理得

(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1

∴AF/FB=1∴ AF=FB ，

∴CF為AB邊上的中線

∴三角形三條中線交於一點（重心）

③用塞瓦定理證明三條角平分線交於一點

此外，可用定比分點來定義塞瓦定理：

在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點，又分比是λ=、μ=、ν=。於是AL、BM、CN三線交於一點的充要條件是λμν=1。（注意與梅涅勞斯定理相區分，那裡是λμν=-1）

推論

1.塞瓦定理角元形式

AD,BE,CF交於一點的充分必要條件是：

(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1

由正弦定理及三角形面積公式易證。

2.如圖，對於圓周上順次6點A，B，C，D，E，F，直線AD，BE，CF交於一點的充分必要條件是：

(AB/BC)×(CD/DE)×(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長與所對圓周角關係易證。

數學意義

使用塞瓦定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還可以用來進行三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學以及射影幾何學中的一項基本定理，具有重要的作用。塞瓦定理的對偶定理是梅涅勞斯定理。

記憶方法

塞瓦定理的優點多多，但是卻不是特別好記，這裡有一個方法。

(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

相當於BD*CE*AF=DC*EA*FB

各位發現等式左右兩端字母竟然是一樣的！

可以如下表述，在記憶(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1時，可理解為在符合在三邊線段的前提下，分母分子字母一樣，且分母、分子內部有相同字母.。

另外一種記憶方式是，將圖中的ABC作為頂點，圖中的DEF作為分點，則(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)可以看做是：頂點到分點（BD），該分點到另一頂點（DC），頂點再到分點（CE），分點再到頂點（EA），頂點再到分點（AF），分點再到頂點（FB）。