設坐標軸上一有向線段的起點和終點的坐標分別為x1和x2,分點M分此有向線段的比為λ,那么,分點M的坐標x=(x1+λx2)/(1+λ)。
基本介紹
- 中文名:定比分點
- 外文名:Definite proportion、definite proportion and division point
- 所屬學科:數學
- 相關概念:有向線段、比例等
基本介紹,定理1,推論,例題解析,
基本介紹
定理1
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證明: 分點M的坐標為x,那么由定理1 知
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推論
設坐標軸上線段AB的端點A和B的坐標分別為
,
和那么線段AB的中點的坐標
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例題解析
【例1】 已知有兩點P1(3,-2),P2(-9,4),線段P1P2與x軸的交點P分有向線段P1P2所成比為
,則有
是多少?並求P點橫坐標。
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解:設
,則有
得
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評註:先由起點、分點、終點的縱坐標求出
,進一步再得到分點的橫坐標。
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【例2】 已知平行四邊形ABCD的三個頂點A(-1,-2),B(3,4),C(0,3),則頂點D的坐標為多少?
解:設平行四邊形ABCD的對角線AC,BD的交點為E(x,y),即E為AC的中點,所以
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又因為E為BD的中點,所以
解得
。
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評註: 利用平行四邊形性質。
【例3】 在平面上有五個整點(坐標為整數的點),證明其中至少有兩個點的連線的中點也是整點。
證明: 設A,B,C,D,E是五個整點,則每個點的坐標的奇偶不外四種可能,就是(偶,偶)、(奇,奇)、(奇,偶)和(偶,奇)。我們取四個點A、B、C、D,它們的坐標的“最壞”情形是(偶,偶)、(奇,奇)、(奇,偶)、(偶,奇)。因為這時四個點中任意兩個點的連線的中點都不是整點,第五個點E的坐標只能是上面說的四種情形之一,但不論是哪種情形,容易驗證E與A、B、C、D中的某一點的連線的中點必是整點。
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在n個點
處各放置質量為
的質點,求證:這n個質點組成的質點系的重心的坐標為
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證明:兩個質點組成的質點系的重心G線上段P1P2上,並且滿足條件
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【例5】已知n個點
,在有向線段
上取一點G2,使G2分
的比為1:1;在有向線段
上取一點G3,使G3分
的比為1:2;在有向線段
上取一點G4,使G4分
的比為1:3;......;在有向線段
上取一點Gn,使Gn分
的比為1:n-1,求證:最後的分點Gn的坐標為
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特別地,以
為頂點的三角形的(幾何)重心的坐標為
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證明: 設例4中的n個質點的質量都相等,這時n個質點的力學重心即是n個點P1,P2,…,Pn的幾何重心Gn,所以Gn的坐標為
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