定比分點

設坐標軸上一有向線段的起點和終點的坐標分別為x₁和x₂，分點M分此有向線段的比為λ，那么，分點M的坐標x=(x₁+λx₂)/(1+λ)。

基本介紹

• 中文名：定比分點
• 外文名：Definite proportion、definite proportion and division point
• 所屬學科：數學
• 相關概念：有向線段、比例等

基本介紹

定理1

設坐標軸上有向線段 的起點A和終點B的坐標分別為 和 分點M分 的比為 ，那么，分點M的坐標

證明: 分點M的坐標為x，那么由定理1 知

由此得

推論

設坐標軸上線段AB的端點A和B的坐標分別為， 和那么線段AB的中點的坐標

例題解析

【例1】 已知有兩點P₁(3，-2)，P₂(-9，4)，線段P₁P₂與x軸的交點P分有向線段P₁P₂所成比為 ，則有 是多少？並求P點橫坐標。

解：設 ,則有 得

評註：先由起點、分點、終點的縱坐標求出 ，進一步再得到分點的橫坐標。

【例2】 已知平行四邊形ABCD的三個頂點A(-1，-2)，B(3，4)，C(0，3)，則頂點D的坐標為多少？

解：設平行四邊形ABCD的對角線AC，BD的交點為E(x，y)，即E為AC的中點，所以

即E點的坐標為 。

又因為E為BD的中點，所以解得 。

評註： 利用平行四邊形性質。

【例3】 在平面上有五個整點(坐標為整數的點)，證明其中至少有兩個點的連線的中點也是整點。

證明： 設A，B，C，D，E是五個整點，則每個點的坐標的奇偶不外四種可能，就是(偶，偶)、(奇，奇)、(奇，偶)和(偶，奇)。我們取四個點A、B、C、D，它們的坐標的“最壞”情形是(偶，偶)、(奇，奇)、(奇，偶)、(偶，奇)。因為這時四個點中任意兩個點的連線的中點都不是整點，第五個點E的坐標只能是上面說的四種情形之一，但不論是哪種情形，容易驗證E與A、B、C、D中的某一點的連線的中點必是整點。

【例4】 在點 和 處各放置質量為m₁和m₂的質點，求證：這兩個質點組成的質點系的重心的坐標為

在n個點 處各放置質量為 的質點，求證：這n個質點組成的質點系的重心的坐標為

證明：兩個質點組成的質點系的重心G線上段P₁P₂上，並且滿足條件

即

所以

所以重心G的坐標

一般情形請讀者用數學歸納法證明。

【例5】已知n個點 ，在有向線段 上取一點G₂，使G₂分 的比為1：1；在有向線段 上取一點G₃，使G₃分 的比為1：2；在有向線段 上取一點G_4，使G₄分 的比為1：3；......；在有向線段 上取一點G_n，使G_n分 的比為1：n-1，求證：最後的分點G_n的坐標為

點G_n叫作已知的n個點P₁，P₂，…，P_n的(幾何)重心(圖1)。

圖1

特別地，以 為頂點的三角形的(幾何)重心的坐標為

證明： 設例4中的n個質點的質量都相等，這時n個質點的力學重心即是n個點P₁，P₂，…，P_n的幾何重心G_n，所以G_n的坐標為

不利用例4也可獨立證明。