負定曲線

負定曲線是代數曲面理論中的基本概念，和曲面奇點解消有著密切聯繫。 這裡說的曲線不一定是不可約曲線。

基本介紹

• 中文名：負定曲線
• 外文名：Negative decides the curve
• 學科：數學
• 性質：概念
• 用於：代數曲面理論

基本概念

設X是光滑代數曲面 ， C是一條既約曲線，寫為 C=∑C_i, 其中C_i是第i個不可約分支， 下標i從1取到r. 換句話說，C是由r條不可約的曲線組成的。

我們記aij為曲線C_i與曲線C_j的相交數。 這樣我們可以建立一個 r 階的矩陣Γ, 其中第 i 行第 j 列的元素是aij. Γ顯然是正係數的 對稱矩陣。

如果Γ恰好是負定矩陣，那么就稱C是負定曲線。

所謂負定矩陣，就是滿足下列性質的矩陣：

對任何非零的 r 維行向量 x, 總有 xΓx'<0, 這裡x'是x的轉置 。

顯然負定曲線對應的矩陣Γ中，對角線上的元素全是負整數。

代數曲面奇點解消後，爆發出的例外曲線必定是負定曲線； 反過來，負定曲線總是能收縮成一個奇點，但是未必是代數奇點。

阿廷(Artin)給了一個判定負定曲曲線的方法。 它證明，如果C是負定的,則曲面上上必存在一個支集（support, 也稱支撐集）為C的除子 Z, 使得ZC_i≤0, 對C的任何不可約分支C_i成立， 且自交數 Z^2<0。 反之，要是有這么一個除子Z,那么C就是負定的。

有趣的是

上面滿足條件的Z中必有一個最小者。 這個最小的除子就成為C上的基本閉鏈 （fundamental cycle）。