貝葉斯風險

貝葉斯風險是衡量一個決策法則的好壞的標準。一般來說，多數情況下，對於某一個(或某些)狀態θ值，決策法則δ₁的風險函式值ρ(θ，δ₁)最小；而對於另一個(或另一些)θ值，另一個決策法則δ₂的風險函式最小，因此，評價一個決策法則的好壞，只能用在各種不同狀態下其風險函式的平均值來衡量。貝葉斯風臉β(δ)就是當決策法則為δ，在狀態θ下風險函式的平均值，決策法則一經確定，其貝葉斯風險即為一常數。它反映出利用這一決策法則決策的平均損失。

基本介紹

• 中文名：貝葉斯風險
• 外文名：Bayes Risk
• 所屬學科：數學
• 相關概念：決策函式、貝葉斯估計等

定義

風險函式給出了一個判斷決策函式優劣的標準，誠然，風險函式越小越好，因此，若存在這樣一個決策函式d*，使對任何決策函式d都有

則稱d*為 的一致最優決策函式，然而一致最優決策函式通常是不存在的，故有必要引進某種限制較寬的優良性準則。

貝葉斯統計是將參數 理解成具有先驗分布的隨機變數，在這個觀點下，風險函式 便是隨機變數，如果再把風險函式 對 取一次平均，那么所得結果就不依賴於參數 而僅依賴於決策函式d了，以此作為衡量決策， 函式優劣的標準應該是合理的。

設參數 是具有先驗分布的隨機變數，決策函式d的風險函式為 ，記

其中期望值是對 求的， 稱為決策函式d在給定先驗分布下的貝葉斯風險，簡稱d的貝葉斯風險。

從 的定義知，可以把貝葉斯風險看做是隨機損失函式 求兩次期望而得到的，當總體X和參數 都是連續性隨機變數時，

相關概念

決策空間與決策函式

設總體X的分布函式為 ，用樣本空間一個點 對未知參數 作的一個估計，亦即作一個決定，在統計決策中稱這一決定為決策，並稱可能採取的全部決策所成的集合為決策空間，記為

統計決策問題，實質上是對樣本空間 的每一個樣本點 ，在決策空間 上指明一個點與之對應．這樣一個對應規則可以看做定義在樣本空間 上而取值於決策空間 的一個函式，稱這個函式為決策函式，記為 ．在不至於引起誤解的情形下，也稱 為決策函式，這時，表示在得到樣本觀察值 時，採取決策 ．因此 本質上是一個統計。