貝特朗定理

貝特朗定理，即伯特蘭定理（Bertrand's theorem），在經典力學里，伯特蘭定理闡明，只有兩種位勢V可以給出閉合軌道（具體定義見正文）。

在現代物理學裡，理論物理學家發現，由於廣義相對論效應，重力勢軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到，水星繞著太陽公轉的橢圓軌道，其近拱點呈緩慢進動狀態。所以，當涉及廣義相對論的領域，伯特蘭定理不成立。

基本介紹

• 中文名：貝特朗定理
• 外文名：Bertrand's theorem
• 別稱：伯特蘭定理
• 學科：物理
• 範疇：經典力學
• 作用：精確測試萬有引力的平方反比性質

定義

在經典力學里，伯特蘭定理闡明，只有兩種位勢V可以給出閉合軌道：

1.平方反比有心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程表示為

2.徑向諧振子勢：

其中，r是徑向坐標，k是正值常數。假若物體從某位置移動，經過一段路徑後，又回到原先位置，則稱此路徑為閉合軌道。

1687年，物理泰斗艾薩克·牛頓在巨著《自然哲學的數學原理》里發表的萬有引力定律，解釋了為什麼行星繞著太陽的公轉運動會遵守克卜勒定律。在這之後，許多科學家開始研究，當行星的運動稍許偏離了這軌道的時候，可能會發生的狀況？其中一個問題為：軌道是否仍舊是閉合的？但是，經過多年的探討，科學家都無法給出合理的解答。一直要等到1873年，法國數學家約瑟·伯特蘭發表伯特蘭定理，才正確地解析這問題。對於經典天體力學研究，這定理非常的重要；在宇宙遙遠的那一邊，萬有引力的性質是否仍舊保持不變？伯特蘭定理給予實驗者一個精確的方法，來測試萬有引力的平方反比性質。

在現代物理學裡，理論物理學家發現，由於廣義相對論效應，重力勢軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到，水星繞著太陽公轉的橢圓軌道，其近拱點呈緩慢進動狀態。所以，當涉及廣義相對論的領域，伯特蘭定理不成立。

平方反比力（克卜勒問題）

平方反比有心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程表示為

處於這種連心勢的粒子，其一般軌道方程寫為

其解答為軌道函式：

其中，e是橢圓軌道的離心率，是相位差，是一個積分常數。

這是焦點位於原點的圓錐曲線的一般方程。當時，這軌道對應於圓形軌道； 當時，這軌道是橢圓形軌道；當時，這軌道是拋物線軌道；當時，這軌道是雙曲線軌道。

離心率與粒子能量E的關係為

所以，當時，這軌道是圓形軌道； 當時，這軌道是橢圓形軌道；當時，這軌道是拋物線軌道；當時，這軌道是雙曲線軌道。

徑向諧振子

為了方便解析這問題，採用直角坐標。勢能可以寫為

處於徑向諧振子位勢的粒子，其拉格朗日量是

這粒子的拉格朗日方程為

其中，是振動頻率。

常數k必須為正值；否則，粒子會朝著無窮遠飛離。這些微分方程的解答為

其中，、、分別為x、y、z方向的振幅，、、分別為其相位

由於上述方程經過整整一周期後，會重複自己，軌道解答是閉合軌道。

牛頓旋轉軌道定理

牛頓旋轉軌道定理表明，對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子，假設再增添立方反比力於此粒子，只要因子是有理數，則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據牛頓旋轉軌道定理的方程，增添的立方反比力為

其中，是粒子原本的角動量，是粒子的質量。

所以，。

由於是有理數，可以寫為分數；其中，和都是整數。對於這案例，增添立方反比力使得粒子完成圈公轉的時間等於原本完成圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理，因為，增添的立方反比力與粒子的原本角動量有關。

參閱

• 二體問題
• 三體問題
• 克卜勒定律
• 牛頓旋轉軌道定理