變分不等式

變分不等式(variational inequality)，經典變分問題的推廣和發展，將經典變分問題的約束條件放鬆為某些單邊約束(即用不等式代替等式)的變分方法。變分不等式已被廣泛地套用於經濟領域的均衡問題。運籌學問題及城市交通網路建模等問題。

基本介紹

• 中文名：變分不等式
• 外文名：variational inequality
• 所屬學科：數理科學
• 套用領域：運籌學問題、城市交通網路建模等

定義

對於任一向量 ，定義向量函式 是連續的， 是可微的， 是線性仿射的(Linear Affine)。其中

為了敘述上的方便，僅假設實值函式f(x)的梯度向量為如下的行向量： ，向量值函式 的雅可比矩陣

為如下的n×m矩陣

定義如下集合

如果有向量 ，對所有的有 有

則此不等式就是一個變分不等式問題，並且 就是變分不等式的一個解。

變分不等式的解

解的定義

設 為變分不等式 的一個解，如果存在球鄰域 使得對任意的 ，存在一個 使得

則稱 就是變分不等式問題 的孤立解，即唯一局部解。

對於變分不等式問題，我們有如下結論：

定理1

變分不等式問題 有解的必要條件：如果向量是變分不等式的一個解，並且存在梯度 ，使得梯度 ，和線性獨立，那么，存在參數向量 ，使得

解的存在性及唯一性

定理2

變分不等式有解的充分條件：如果是凹的，並且有滿足定理1中的三個式子，則就是變分不等式的一個解。

定理3

變分不等式問題有唯一局部解的充分條件：在滿足定理2的條件基礎上，如果F是可微的，並且滿足：，對於所有的y≠0，使得

對所有

對所有

對所有的

則就是變分不等式的唯一局部解。

定理4

如果是強單調的，則定理3中三式成立，則變分不等式問題存在唯一解x。

變分不等式問題的求解方法

此處介紹求解變分不等式問題的一個著名的疊代算法，一般稱為鬆弛算法(Relaxation Algorithm)。

求解變分不等式問題鬆弛算法的一般過程：

第一步：初始化。找一個初始可行點，令n=1。

第二步：鬆弛化。求解如下最最佳化子問題

設解為。

第三步：收斂性檢查。如果滿足收斂性，則停止；否則令n=n+1，轉第一步。

在鬆弛算法中，對於固定的y，由於函式Z(x，y)的Hessian陣是對角陣，故在交通中常常也稱鬆弛算法為對角化算法，對應的最最佳化子問題被稱為對角化子問題。

在研究城市交通均衡配流問題時，當路段之間存在相互影響、而且這種相互影響是非對稱時，我們就可以採用上述對角化算法來求解這種路段相互影響的用戶均衡配流問題。