角動量算符

在量子力學里，角動量算符(angular momentum operator)是一種算符，類比於經典的角動量。

在原子物理學涉及旋轉對稱性(rotational symmetry)的理論里，角動量算符占有中心的角色。角動量，動量，與能量是物體運動的三個基本特性。

基本介紹

• 中文名：角動量算符
• 外文名：angular momentum operator
• 基本特性：角動量，動量，與能量
• 套用：量子力學
• 相關術語：角動量
• 套用領域：原子物理學

簡介

角動量促使在旋轉方面的運動得以數量化。在孤立系統里，如同能量和動量，角動量是守恆的。在量子力學裡，角動量算符的概念是必要的，因為角動量的計算實現於描述量子系統的波函式，而不是經典地實現於一點或一剛體。在量子尺寸世界，分析的對象都是以波函式或量子幅來描述其機率性行為，而不是命定性(deterministic)行為。

數學定義

在經典力學里，角動量 定義為位置 與動量的叉積：

。

在量子力學裡，對應的角動量算符 定義為位置算符與動量算符的叉積：

。

由於動量算符的形式為

。

角動量算符的形式為

。

其中，是梯度算符。

厄米算符

在量子力學裡，每一個可觀察量所對應的算符都是厄米算符。角動量是一個可觀察量，所以，角動量算符應該也是厄米算符。讓我們現在證明這一點，思考角動量算符的 x-分量 ：

。

其伴隨算符 為

。

由於 ，都是厄米算符，

。

由於 與 之間、 與 之間分別相互對易，所以，

。

因此，是一個厄米算符。類似地， 與都是厄米算符。總結，角動量算符是厄米算符。

再思考算符，

。

其伴隨算符為

。

由於 算符、 算符、算符，都是厄米算符，

。

所以， 算符是厄米算符。

對易關係

兩個算符的交換算符，表示出它們之間的對易關係。

（1）角動量算符與自己的對易關係

思考 的交換算符，

。

由於兩者的對易關係不等於 0 ，與 彼此是不相容可觀察量。絕對不會有共同的基底量子態。一般而言， 的本徵態與的本徵態不同。

（2）哈密頓算符與角動量算符之間的對易關係

思考哈密頓算符與的交換算符，

，

與是對易的， 與 彼此是相容可觀察量，兩個算符擁有共同的本徵態。根據不確定性原理，我們可以同時地測量到與的同樣的本徵值。

（3）在經典力學裡的對易關係

在經典力學裡，角動量算符也遵守類似的對易關係：

；

其中，是泊松括弧，是列維-奇維塔符號，，代表直角坐標。

參閱讀物

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