西安交通大學研究生教育教材

大學簡介

西安交通大學是國家教育部直屬重點大學，為我國最早興辦的高等學府之一。其前身是1896年創建於上海的南洋公學，1921年改稱交通大學，1956年國務院決定交通大學內遷西安，1959年定名為西安交通大學，並被列為全國重點大學。西安交通大學是“七五 ”、“八五”首批重點建設項目學校，是首批進入國家“211”和 “985”工程建設，被國家確定為以建設世界知名高水平大學為目標的學校。2000年4月，國務院將原西安醫科大學、原陝西財經學院併入原西安交通大學組建新的西安交通大學。

今日的西安交通大學是一所具有理工特色，涵蓋理、工、醫、經濟、管理、文、法、哲、教育和藝術等10個學科門類的綜合性研究型大學。學校設有20個學院（部）、8個本科生書院和8所附屬教學醫院。現有校本部在職教職工5635人，專任教師2416人，教授、副教授1500餘人。學校教師隊伍中有兩院院士21名，其中11名為雙聘院士。國家教學名師6名，教育部“長江學者”特聘教授和講座教授44名，國家傑出青年基金獲得者29名，國家有突出貢獻專家及中青年專家15名，“長江學者和創新團隊發展計畫”創新團隊帶頭人15人，教育部“新世紀優秀人才培養計畫入選者”188名，“千人計畫”31人，對國家做出突出貢獻並享受政府特殊津貼的專家5

內容簡介

李乃成、梅立泉編著的《數值分析》介紹了科學與工程計算中常用的數值計算方法及相關理論。內容包括解線性方程組的直接法和疊代法、插值法、函式最優逼近、數值微積分、非線性方程（組）的疊代解法、矩陣特徵值和特徵向量的計算、常微分與偏微分方程數值解法等。其中包含了一些在實際中有重要套用的新方法，如求解超定方程組的最小二乘法、求解線性方程組的基於伽遼金原理的疊代法、奇異值分解、廣義特徵值問題的求解方法等。同時。對數值計算方法的計算效率、穩定性、收斂性、誤差估計、適用範圍及優缺點也進行了分析和介紹。

《數值分析》可作為高等院校數學系各專業本科生和各類工科專業研究生的教材或教學參考書，也可供從事科學與工程計算的科研工作者閱讀參考。

第1章緒論
1.1 數值分析研究的內容與特點
1.2 誤差
1.2.1 誤差的來源與分類
1.2.2 絕對誤差、相對誤差與準確數字
1.2.3 計算機中數的表示與捨入誤差
1.2.4 數據誤差影響的估計
1.3 算法的數值穩定性
小結
習題
第2章解線性方程組的直接法
2.1 高斯消去法
2.1.1 高斯消去法
2.1.2 高斯消去法中乘除法的運算量前言
第1章緒論
1.1 數值分析研究的內容與特點
1.2 誤差
1.2.1 誤差的來源與分類
1.2.2 絕對誤差、相對誤差與準確數字
1.2.3 計算機中數的表示與捨入誤差
1.2.4 數據誤差影響的估計
1.3 算法的數值穩定性
小結
習題
第2章解線性方程組的直接法
2.1 高斯消去法
2.1.1 高斯消去法
2.1.2 高斯消去法中乘除法的運算量
2.1.3 高斯消去法順利進行的條件
2.1.4 高斯消去法的算法組織
2.1.5 列主元高斯消去法
2.2 矩陣的三角分解
2.2.1 高斯消去法的矩陣形式
2.2.2 矩陣的LU分解
2.2.3 平方根法和改進平方根法
2.2.4 求解三對角方程組的追趕法
2.3 捨入誤差對解的影響
2.3.1 向量範數與矩陣範數
2.3.2 捨入誤差對解的影響
2.4 正交變換與矩陣的QR分解
2.4.1 吉文斯變換與豪斯霍爾德變換
2.4.2 矩陣的QR分解
*2.5 超定方程組
2.5.1 線性最小二乘問題
2.5.2 最小二乘問題的求解
小結
習題
計算實習
第3章解線性方程組的疊代法
3.1 向量序列和矩陣序列的極限
3.2 解線性方程組的基本疊代法
3.2.1 疊代法的一般格式
3.2.2 三種基本疊代法
3.3 疊代法的收斂性
3.3.1 疊代法的矩陣表示
3.3.2 疊代法的收斂性
3.4 共軛梯度法
3.4.1 求解線性方程組與求解二次函式極小點的等價性
3.4.2 共軛梯度法
*3.5 基於伽遼金原理的疊代法
3.5.1 伽遼金原理和克雷洛夫子空間
3.5.2 阿諾爾迪過程
3.5.3 阿諾爾迪算法
3.5.4 廣義極小殘餘算法
小結
習題
計算實習
第4章插值法
4.1 多項式插值問題
4.2 拉格朗日插值多項式
4.3 牛頓插值多項式
4.3.1 差商的定義
4.3.2 牛頓插值多項式
4.3.3 差商的性質
4.4 埃爾米特插值多項式
4.5 分段低次插值多項式
4.5.1 高次插值多項式的缺陷
4.5.2 分段低次插值法
4.6 三次樣條插值函式
4.6.1 三次樣條插值函式的定義
4.6.2 三次樣條插值函式的導出
4.6.3 三次樣條插值函式的收斂性與誤差估計
小結
習題
計算實習
第5章函式最優逼近
5.1 函式的內積、範數和正交多項式
5.1.1 函式的內積和範數
5.1.2 正交多項式
5.2 最優平方逼近
5.2.1 最優平方逼近
5.2.2 正規方程組
5.3 最優一致逼近
5.3.1 最優一致逼近多項式
5.3.2 近似最優一致逼近多項式
小結
習題
計算實習
第6章數值積分與數值微分
6.1 牛頓-科茨求積公式
6.1.1 數值積分的基本思想
6.1.2 牛頓-科茨求積公式
6.1.3 復化求積公式
6.1.4 變步長積分法
6.1.5 龍貝格積分法
6.2 待定係數法與高斯型求積公式
6.2.1 代數精度與待定係數法
6.2.2 廣義佩亞諾定理
6.2.3 高斯型求積公式
6.2.4 常用的4種高斯型求積公式
6.3 數值積分的穩定性
6.4 數值微分
6.4.1 插值型數值微分公式
6.4.2 待定係數法
6.4.3 外推求導法
6.4.4 利用三次樣條插值函式求導法
小結
習題
計算實習
第7章非線性方程(組)的疊代解法
7.1 求解非線性方程的疊代法
7.1.1 幾種基本疊代法
7.1.2 疊代法的收斂性
7.1.3 疊代法的收斂速度
7.1.4 加速收斂技術
7.2 求解非線性代數方程組的疊代法
7.2.1 簡單疊代法
7.2.2 牛頓法
7.2.3 弦割法
7.2.4 布洛依登法
小結
習題
計算實習
第8章矩陣特徵值與特徵向量的計算
8.1 基本性質
8.2 求一般矩陣特徵值的計算方法
8.2.1 乘冪法及反冪法
8.2.2 求矩陣全部特徵值與特徵向量的QR方法
8.2.3 阿諾爾迪方法
8.3 求實對稱矩陣特徵值的計算方法
8.3.1 雅可比方法
8.3.2 吉文斯方法
8.3.3 蘭喬斯方法
8.4 奇異值(SVD)的計算
8.5 廣義特徵值問題
8.5.1 廣義Schur分解
8.5.2 對稱正定矩陣的廣義Schur分解
小結
習題
計算實習
第9章常微分方程數值解法
9.1 初值問題常用數值解法的建立與使用
9.1.1 基本數值解法的建立與隱式法的求解
9.1.2 龍格-庫塔法
9.1.3 待定係數法、預測—校正公式
9.2 數值解中誤差的積累、數值方法的收斂性和絕對穩定性
9.2.1 數值解中誤差的積累和數值方法的收斂性
9.2.2 絕對穩定性
9.3 一階微分方程組與高階方程的數值解法
9.3.1 一階微分方程組
9.3.2 高階常微分方程
9.4 邊值問題的數值解法
9.4.1 有限差分法
9.4.2 打靶法
小結
習題
計算實習
第10章偏微分方程的數值解法
10.1 橢圓型邊值問題
10.1.1 差分方程的建立
10.1.2 差分解的誤差估計與收斂性
10.1.3 一般二階橢圓型方程邊值問題
10.2 拋物型方程初、邊值問題
10.2.1 差分方程的建立與求解
10.2.2 差分格式的穩定性
10.2.3 差分解的誤差估計與收斂性
10.3 雙曲型方程混合問題
10.3.1 一階雙曲型方程
10.3.2 一階常係數雙曲型方程組
10.3.3 二階雙曲型方程
10.4 有限元法
10.4.1 變分原理
10.4.2 伽遼金逼近解
10.4.3 單元及形狀函式
10.4.4 有限元求解步驟
小結
習題
計算實習
參考文獻

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