《複變函數論（第四版）》是2013年8月26日高等教育出版社出版的書籍，作者是鐘玉泉。
基本介紹
- 書名：複變函數論（第4版）
- 作者：鐘玉泉
- ISBN：978-7-04-037364-6
- 頁數：388
內容簡介,作品目錄,
內容簡介
本書初版於1979年，再版於1988年，三版於2004年。此次修訂保持了第三版“闡述細緻，便於自學”的特點，同時增加了少量新內容，充實了例題，附上了名詞索引，更加易教易學。
本書內容包括：複數與複變函數、解析函式、複變函數的積分、解析函式的冪級數表示法、解析函式的洛朗展式與孤立奇點、留數理論及其套用、共形映射、解析延拓和調和函式共九章。其中加上*號的內容，供學有餘力的學生選學。
本書可作為高等師範院校數學系的教材，也可為其它理工院校、教育學院所選用。
作品目錄
前輔文
引言
第一章 複數與複變函數
§1. 複數
1. 複數域 2. 複平面 3. 複數的模與輻角4. 複數的乘冪與方根 5. 共軛複數6. 複數在幾何上的套用舉例
§2. 複平面上的點集
1. 平麵點集的幾個基本概念 2. 區域與若爾當(Jordan)曲線
§3. 複變函數
1. 複變函數的概念 2. 複變函數的極限與連續性
§4. 復球面與無窮遠點
1. 復球面 2. 擴充複平面上的幾個概念
第一章習題
第二章 解析函式
§1. 解析函式的概念與柯西黎曼方程
1. 複變函數的導數與微分 2. 解析函式及其簡單性質 3. 柯西黎曼方程 4. 用z和z刻畫複函數
§2. 初等解析函式
1. 指數函式 2. 三角函式與雙曲函式
§3. 初等多值函式
1. 根式函式 2. 對數函式 3. 一般冪函式與一般指數函式 4. 具有多個有限支點的情形5. 反三角函式與反雙曲函式
第二章習題
第三章 複變函數的積分
§1. 復積分的概念及其簡單性質
1. 複變函數積分的定義 2. 複變函數積分的計算問題. 複變函數積分的基本性質
§2. 柯西積分定理
1. 柯西積分定理 2. 柯西積分定理的古爾薩證明3. 不定積分 4. 柯西積分定理的推廣5. 柯西積分定理推廣到復周線的情形
§3. 柯西積分公式及其推論
1. 柯西積分公式 2. 解析函式的無窮可微性 3. 柯西不等式與劉維爾(Liouville)定理4. 莫雷拉(Morera)定理 5. 柯西型積分
§4. 解析函式與調和函式的關係
§5. 平面向量場——解析函式的套用(一)
1. 流量與環量 2. 無源、漏的無旋流動 3. 復勢)
第三章習題
第四章 解析函式的冪級數表示法
§1. 復級數的基本性質
1. 複數項級數 2. 一致收斂的複函數項級數3. 解析函式項級數
§2. 冪級數
1. 冪級數的斂散性 2. 收斂半徑R的求法，柯西阿達馬(CauchyHadamard)公式 3. 冪級數和的解析性
§3. 解析函式的泰勒(Taylor)展式
1. 泰勒定理 2. 冪級數的和函式在其收斂圓周上的狀況) 3. 一些初等函式的泰勒展式
§4. 解析函式零點的孤立性及惟一性定理
1. 解析函式零點的孤立性 2. 惟一性定理3. 最大模原理
第四章習題
第五章 解析函式的洛朗(Laurent)展式與孤立奇點
§1. 解析函式的洛朗展式
1. 雙邊冪級數 2. 解析函式的洛朗展式3. 洛朗級數與泰勒級數的關係 4. 解析函式在孤立奇點鄰域內的洛朗展式
§2. 解析函式的孤立奇點
1. 孤立奇點的三種類型 2. 可去奇點3. 施瓦茨(Schwarz)引理 4. 極點 5. 本質奇點 6. 皮卡(Picard)定理
§3. 解析函式在無窮遠點的性質
§4. 整函式與亞純函式的概念
1. 整函式 2. 亞純函式
§5. 平面向量場——解析函式的套用(二)
1. 奇點的流體力學意義 2. 在電場中的套用舉例
第五章習題
第六章 留數理論及其套用
§1. 留數
1. 留數的定義及留數定理 2. 留數的求法3. 函式在無窮遠點的留數
§2. 用留數定理計算實積分
1. 計算∫2π0Rcosθ，sinθ)dθ型積分2. 計算∫+∞-∞P(x)Q(x)dx型積分3. 計算∫+∞-∞P(x)Q(x)eimxdx型積分4. 計算積分路徑上有奇點的積分 5. 雜例6. 套用多值函式的積分
§3. 輻角原理及其套用
1. 對數留數 2. 輻角原理3. 魯歇(Rouch)定理
第六章習題
第七章 共形映射
§1. 解析變換的特性
1. 解析變換的保域性 2. 解析變換的保角性——導數的幾何意義 3. 單葉解析變換的共形性
§2. 分式線性變換
1. 分式線性變換及其分解 2. 分式線性變換的共形性 3. 分式線性變換的保交比性4. 分式線性變換的保圓周(圓)性 5. 分式線性變換的保對稱點性 6. 分式線性變換的套用
§3. 某些初等函式所構成的共形映射
1. 冪函式與根式函式 2. 指數函式與對數函式3. 由圓弧構成的兩角形區域的共形映射 4. 機翼剖面函式及其反函式所構成的共形映射 5. 茹科夫斯基函式的單葉性區域
§4. 關於共形映射的黎曼存在定理和邊界對應定理
1. 黎曼存在定理 2. 邊界對應定理
第七章習題
第八章 解析延拓
§1. 解析延拓的概念與冪級數延拓
1. 解析延拓的概念 2. 解析延拓的冪級數方法
§2. 透弧解析延拓、對稱原理
1. 透弧直接解析延拓 2. 黎曼施瓦茨對稱原理
§3. 完全解析函式及黎曼面的概念
1. 完全解析函式 2. 單值性定理3. 黎曼面概念
§4. 多角形區域的共形映射
1. 克里斯托費爾(Christoffel)施瓦茨變換2. 退化情形 3. 廣義多角形舉例
第八章習題
第九章 調和函式
§1. 平均值定理與極值原理
1. 平均值定理 2. 極值原理
§2. 泊松積分公式與狄利克雷問題
1. 泊松積分公式 2. 狄利克雷問題 3. 單位圓內狄利克雷問題的解 4. 上半平面內狄利克雷問題的解
第九章習題
部分習題參考答案
名詞索引
