自由度(統計學的自由度)

在統計學中，自由度(degree of freedom, df)指的是計算某一統計量時，取值不受限制的變數個數。通常df=n-k。其中n為樣本數量，k為被限制的條件數或變數個數，或計算某一統計量時用到其它獨立統計量的個數。自由度通常用於抽樣分布中。

基本介紹

• 中文名：自由度
• 外文名：degrees  of freedom
• 意義：計算獨立數據的
• 領域：統計學
• 套用：抽樣分布
• 公式：df=n-k

定義

統計學上，自由度是指當以樣本的統計量來估計總體的參數時，樣本中獨立或能自由變化的數據的個數，稱為該統計量的自由度。一般來說，自由度等於獨立變數減掉其衍生量數。舉例來說，變異數的定義是樣本減平均值(一個由樣本決定的衍生量)，因此對N個隨機樣本而言，其自由度為N-1。

數學上，自由度是一個隨機向量的維度數，也就是一個向量能被完整描述所需的最少單位向量數。舉例來說，從電腦螢幕到廚房的位移能夠用三維向量 來描述，因此這個位移向量的自由度是3。自由度也通常與這些向量的座標平方和，以及卡方分布中的參數有所關聯。

套用

1.若存在兩個變數 、 ，而 那么他的自由度為1。因為其實只有 才能真正的自由變化， 會被 選值的不同所限制。

2.估計總體的平均數（ ）時，由於樣本中的 個數都是相互獨立的，任一個尚未抽出的數都不受已抽出任何數值的影響，所以自由度為 。

3.估計總體的方差（ ）時所使用的統計量是樣本的方差 ，而 必須用到樣本平均數 來計算。在抽樣完成後已確定，所以大小為 的樣本中只要 個數確定了，第 個數就只有一個能使樣本符合 的數值。也就是說，樣本中只有 個數可以自由變化，只要確定了這 個數，方差也就確定了。這裡，平均數 就相當於一個限制條件，由於加了這個限制條件，樣本方差 的自由度為 。

4.統計模型的自由度等於可自由取值的自變數的個數。如在回歸方程中，如果共有 個參數需要估計，則其中包括了 個自變數（與截距對應的自變數是常量）。因此該回歸方程的自由度為 。

5.在一個包含個個體的總體中，平均數為。知道了個個體時，剩下的一個個體不可以隨意變化。為什麼總體方差計算，是除以而不是呢？方差是實際值與期望值之差平方的期望值，所以已知道總體均值或其他統計參數時方差應除以，除以時是方差的一個無偏估計。

範例

例1

有一個有4個數據( )的樣本，其平均值等於5，即受到 的條件限制，在自由確定4、2、5三個數據後， 第四個數據只能是9，否則 。因而這裡的自由度 。推而廣之，任何統計量的自由度 （k為限制條件的個數）。

例2

如果用刀剖柚子，在北極點沿經線方向割3刀，得6個角。這6個角可視為3對。6個角的平均角度一定是60度。其中半邊3個角中，只會有2個可以自由選擇，一旦2個數值確定第3個角也會唯一地確定。在總和已知的情況下，切分角的個數比能夠自由切分的個數大1。