自由度(統計學術語)

在統計學中，自由度指的是計算某一統計量時，取值不受限制的變數個數。通常df=n-k。其中n為樣本含量，k為被限制的條件數或變數個數，或計算某一統計量時用到其它獨立統計量的個數。自由度通常用於抽樣分布中。

基本介紹

• 中文名：自由度
• 外文名：degrees  of freedom
• 意指：計算某一統計量
• 變數個數公式：df=n-k
• 用途：抽樣分布

基本介紹

統計學上的自由度是指當以樣本的統計量來估計總體的參數時， 樣本中獨立或能自由變化的自變數的個數，稱為該統計量的自由度。 統計學上的自由度包括兩方面的內容：

首先，在估計總體的平均數時，由於樣本中的 n 個數都是相互獨立的，從其中抽出任何一個數都不影響其他數據，所以其自由度為n。

在估計總體的方差時，使用的是離差平方和。只要n-1個數的離差平方和確定了，方差也就確定了；因為在均值確定後，如果知道了其中n-1個數的值，第n個數的值也就確定了。這裡，均值就相當於一個限制條件，由於加了這個限制條件，估計總體方差的自由度為n-1。

例如，有一個有4個數據(n=4)的樣本，其平均值m等於5，即受到m=5的條件限制，在自由確定4、2、5三個數據後， 第四個數據只能是9，否則m≠5。因而這裡的自由度υ=n-1=4-1=3。推而廣之，任何統計量的自由度υ=n-k（k為限制條件的個數）。

其次，統計模型的自由度等於可自由取值的自變量的個數。如在回歸方程中，如果共有p個參數需要估計，則其中包括了p-1個自變數（與截距對應的自變數是常量1）。因此該回歸方程的自由度為p-1。

這個解釋，如果把“樣本”二字換成“總體”二字也說得過去。

在一個包含n個個體的總體中，平均數為m。知道了n-1個個體時，剩下的一個個體不可以隨意變化。為什麼總體方差計算，是除以n而不是n-1呢？方差是實際值與期望值之差平方的期望值，所以知道總體個數n時方差應除以n，除以n-1時是方差的一個無偏估計。

自由度 (結構力學)

在結構力學上的自由度，或稱動不定度，意指分析結構系統時，有效的結構節點上的未知節點變位數。其中稱之為“有效”是因為結構構件上的任一點，都應有機會具有自由度，我們只選擇其中對分析整體結構有用的節點變位來討論，而稱為“未知”則因為為求解容易，我們通常儘可能減少自由度的數量，因此扣除已知的變位。

自由度大致有兩種型式：

旋轉的自由度和移動的自由度。

在平面中，只有三個自由度，一者為面旋轉，二者為前後及左右兩個移動。

在立體中，有六個自由度，三個為前後、上下及左右三個移動和前後、上下及左右三面旋轉。簡單來說就是沿三個坐標軸的移動和繞三個坐標軸的轉動 把構建相對於參考系具有獨立運動參數的數目稱為構件的自由度。

自由度的運用：

自由度作為結構力學中的重要概念，是描述一個結構基本情況的基本參數。在結構分析中，將自由度作為主要未知數，基本求解方法有兩種：利用變形諧合條件求解的方法，稱為力法，此法的套用範圍是未知的自由度較少的情況。利用力平衡條件求解的方法，稱為位移法，此法套用較為廣泛，尤其在求解高階超靜定結構的情況下較力法容易，適合利用線性代數(矩陣)的方式配合程式撰寫來求得欲知的自由度。