維納過程是一個重要的獨立增量過程，也稱作布朗運動過程。數學中，維納過程是一種連續時間隨機過程，得名於諾伯特·維納。由於與物理學中的布朗運動有密切關係，也常被稱為“布朗運動過程”或簡稱為布朗運動。維納過程是萊維過程（指左極限右連續的平穩獨立增量隨機過程）中最有名的一類，在純數學、套用數學、經濟學與物理學中都有重要套用。
基本介紹
- 中文名：維納過程
- 外文名：Wiener process
- 性質：數學
- 釋義：一種連續時間隨機過程
- 又稱：布朗運動
- 套用：數學 物理學
概述,定義,特點,一維維納過程的性質,基本性質,即時最值,對稱性質,時間平移不變性和馬爾可夫性質,
概述
維納過程的地位在純數學中與在套用數學中同等重要。在純數學中，維納過程導致了對連續鞅理論的研究，是刻畫一系列重要的複雜過程的基本工具。它在隨機分析、擴散過程和位勢論領域的研究中是不可或缺的。在套用數學中，維納過程可以描述高斯白噪聲的積分形式。在電子工程中，維納過程是建立噪音的數學模型的重要部分。控制論中，維納過程可以用來表示不可知因素。
維納過程和物理學中的布朗運動有密切關係。布朗運動是指懸浮在液體中的花粉微小顆粒所進行的無休止隨機運動。維納運動也可以描述由福克-普朗克方程和郎之萬方程確定的其他隨機運動。維納過程構成了量子力學的嚴謹路徑積分表述的基礎（根據費曼-卡茨公式，薛丁格方程的解可以用維納過程表示）。金融數學中，維納過程可以用於描述期權定價模型如布萊克-斯科爾斯模型。
定義
若一個隨機過程{X(t),t>=0}滿足：
⑴ X(t)是獨立增量過程；
⑵ 任意s,t>0,X(s+t)-X(s)~N(0,σ^2*t），即X(s+t)-X(s）是期望為0，方差為σ^2*t的常態分配；
⑶ X(t)關於t是連續函式。
則稱{X(t),t>=0}是維納過程（Wiener process）或布朗運動。
特點
維納過程又稱布朗運動，它具有如下特點：
⑴過程的當前值就是做出其未來預測中所需的全部信息。
⑵維納過程具有獨立增量。該過程在任一時間區間上變化的機率分布獨立於其在任一的其他時間區間上變化的機率。
⑶它在任何有限時間上的變化服從常態分配，其方差隨時間區間的長度呈線性增加。
給定二階矩過程{W(t),t>=0},如果它滿足
1、具有獨立增量
2、對任意的t>s>=0，增量
W(t)-W(s)~N(0,σ^2(t-s）），且s>0
3、W(0)=0
則稱此過程為維納過程.
期貨定價模型BS模型中，期貨價格及其所依賴的標的資產價格都受同一種不確定因素的影響，兩者也都是遵循相同的維納過程。
一維維納過程的性質
基本性質
對任意的正實數，一維維納過程在時刻是一個隨機變數，它的機率密度函式是：
這是因為按照維納過程的定義，當時，可以推出的分布：
在維納過程的獨立增量定義中，令，，那么和是相互獨立的隨機變數，並且
即時最值
維納過程中的即時最大值與的聯合機率分布是：
而即時最大值的分布是對的積分：
即時最大值的數學期望是：
由於維納過程上下對稱，即時最小值顯然是即時最大值的相反數。
對稱性質
將一個維納過程不斷按比例展開，它的一部分就會呈現另一個維納過程的樣子
- 尺度不變性：對任意的正實數，隨機過程都仍然是一個維納過程。
- 時間反轉：對任意的正實數，隨機過程和性質相同。
- 空間對稱：隨機過程也是一個維納過程。
- 時間反演：隨機過程也是一個維納過程。
