停時

停時

停時((stopping time)一類隨機時刻,指具有某種與將來無關性質的隨機時刻。給定機率空間(Ω,F,P)及其濾子Ft,映射τ:Ω→T∪{∞},如果對任意的t∈I,{ω:ω∈Ω,τ(ω)≤t}∈Ft,則稱映射τ為一個(Ft)停時。

基本介紹

  • 中文名:停時
  • 外文名:stop time
  • 所屬學科:數理科學
  • 性質:一種特殊的隨機變數
  • 相關概念:隨機變數、機率空間等
基本介紹,停時的基本性質,停時的作用,

基本介紹

停止時間是一種特殊的隨機變數,表示一個隨機的時刻。例如,設
為停時,那么這意味著兩方面內容,第一,
是隨機的,第二,
的取值範圍是
為已知,當結果出現時,可表示為
也就是說,該隨機變數的結果是一個特定時刻。
現在考慮建立在債券上的美式期權,該期權可以在當前時刻t=0與到期日T之間的任何時刻執行,如果期權執行者認為時機已到,那么他將執行期權,否則他將選擇等待直到到期。
所以,我們需要研究一個“隨機日期”,它對於期權定價非常重要,實際上,提前執行的權力為美式期權增加了額外的價值。
我們設
為期權的執行日期,很顯然已知信息集
,我們就可以知道該期權是否已經被執行,也就是說,已知
,我們可以知道哪種情況成立:
該式表示期權已經被執行,或者
該式表示期權尚未被提前執行。
的這種性質可以用來定義停止時間。
定義1 停止時間是
可測的非負隨機變數,滿足
1)已知
,我們可以判斷是否有
2)我們有
對於一般的衍生證券,期限都是有限的,因此期權要么在一個有限的時刻被執行,要么過期失效,這意味著第二個等式,即
以1機率有限,將恆成立。

停時的基本性質

下面列出停時的基本性質。
定理
均為
停時,則有
(1)
是停時;
(2)
是停時;
(3)如果
,則
(4)
可測的。
首次進入某個集合或者首次達到的時刻是一個停時。事實上,設E是一個度量空間,X是關於濾子
適應的、E為狀態空間的隨機過程,對於
,定義
就是一個停時。

停時的作用

在實際操作中,我們應該如何利用停時
呢?
最明顯的一個用途是用
來代表期權的執行時間,對歐式期權而言,執行時間不含隨機因素,期權只能在到期日被執行,因而我們有
而對於美式期權,
一般是隨機的。
考慮一份美式看漲期權
標的資產
滿足以下SDE:
其中漂移項和擴散項係數滿足一般的規範性條件。
和過去一樣,衍生證券的價格可以在等價鞅測度Q下表示,但此時多了一個複雜之處,證券持有者不一定要等到T時刻才執行期權,他可以在利潤較高時提前執行。
也就是說,如果持有者必須等到到期日才能執行期權,那么該期權 t 時刻價值為
而如果他可以提前執行,那么價值為
其中
是所有可能停止機會的集合,
的最優選擇,這裡
代表期權持有者可能執行該看漲期權的日期。
因此在 t 時刻,我們可以計算出一系列
,包含所有停止時間
可能的取值,為了求出正確的價格,我們要求這些
的上確界。

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