停時((stopping time)一類隨機時刻,指具有某種與將來無關性質的隨機時刻。給定機率空間(Ω,F,P)及其濾子Ft,映射τ:Ω→T∪{∞},如果對任意的t∈I,{ω:ω∈Ω,τ(ω)≤t}∈Ft,則稱映射τ為一個(Ft)停時。
基本介紹
- 中文名:停時
- 外文名:stop time
- 所屬學科:數理科學
- 性質:一種特殊的隨機變數
- 相關概念:隨機變數、機率空間等
基本介紹,停時的基本性質,停時的作用,
基本介紹
停止時間是一種特殊的隨機變數,表示一個隨機的時刻。例如,設
為停時,那么這意味著兩方面內容,第一,
是隨機的,第二,
的取值範圍是
為已知,當結果出現時,可表示為
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所以,我們需要研究一個“隨機日期”,它對於期權定價非常重要,實際上,提前執行的權力為美式期權增加了額外的價值。
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定義1 停止時間是
可測的非負隨機變數,滿足
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1)已知
,我們可以判斷是否有
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2)我們有
![](/img/a/a1e/74ad8bce4a6af99f6b51c01c8287.jpg)
對於一般的衍生證券,期限都是有限的,因此期權要么在一個有限的時刻被執行,要么過期失效,這意味著第二個等式,即
以1機率有限,將恆成立。
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停時的基本性質
下面列出停時的基本性質。
定理 設
均為
停時,則有
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(1)
是停時;
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(2)
是停時;
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(3)如果
,則
;
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(4)
是
可測的。
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![](/img/2/56d/319c713e0f128c21e59c4c161b9f.jpg)
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停時的作用
在實際操作中,我們應該如何利用停時
呢?
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最明顯的一個用途是用
來代表期權的執行時間,對歐式期權而言,執行時間不含隨機因素,期權只能在到期日被執行,因而我們有
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和過去一樣,衍生證券的價格可以在等價鞅測度Q下表示,但此時多了一個複雜之處,證券持有者不一定要等到T時刻才執行期權,他可以在利潤較高時提前執行。
也就是說,如果持有者必須等到到期日才能執行期權,那么該期權 t 時刻價值為
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因此在 t 時刻,我們可以計算出一系列
,包含所有停止時間
可能的取值,為了求出正確的價格,我們要求這些
的上確界。
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