維納測度

維納測度是定義在連續函式空間上的一種描述布朗運動的測度。維納測度也叫維納過程。

在數學中，維納過程是一個連續的時間隨機過程，以諾伯特·維納命名。它通常被稱為標準布朗運動過程或布朗運動，因為它與被稱為布朗運動或布朗運動的物理過程有關。它是已知的最著名的列維過程(即靜態獨立增量的滯後隨機過程)，經常出現在純套用數學、經濟學、定量金融和物理中。

基本介紹

• 中文名：維納測度
• 外文名：Wiener measure
• 領域：數學
• 別名：維納過程
• 命名來源：諾伯特納維
• 套用領域：數學、經濟學、物理

人物介紹

美國數學家、生理學家、通訊 工程師，當代控制論創始人。1908年 在圖夫特學院數學系畢業，1912年在 哈佛大學以其數學論文獲哲學博士 學位。爾後在麻省理工學院任教並 開始研究通訊工程。1934～1935年， 曾到中國清華大學任教。二戰中維 納為美軍研究預測理論，並援助過中 國的抗日戰爭。戰後，麥爾錫主義興 起，維納被迫到墨西哥國立心臟研究 所研究生理學。主要著作《行為、目 的和目的論》(合著1943)、《控制論· 或關於在動物和機器中控制和通訊 的科學》(1948)、《人有人的用途，控制 論和社會》(1950)、《預測理論概論》 (1952)、《上帝和精靈》(1964)等。維 納所創立的控制論是一門邊緣學科， 它是諸多知識領域的綜合，其中主要 是生理學和通訊工程。控制論的誕 生為研究腦科學即思維科學和心理 科學提供了一種方法，在哲學上具有 重大意義。維納反對製造兩種武器 即戰爭決策機器和國家管理機器。 對於毀滅人類自身的原子戰爭，前者 無從取得經驗;對於日趨複雜的社會 生活，後者遠不能適用。他堅持認為 人不能丟棄人的精神和價值而去誤 用機器;在生理學研究上，維納具有 唯物辯證法的傾向，又有用抽象的觀 點看待社會的人和人的認識的形而 上學思想。他從遺傳信息的研究中 看到了模式的相對穩定性。模式就 是訊息，並可作為訊息進行傳遞。維 納深受存在主義的影響，悲觀主義思 想甚濃。他的觀點是地球終將熱寂， 人種終將滅絕，因此人類社會的進步 是毫無意義的。但維納也相信在當 代自然科學技術迅速發展的推動下， 要求建立一個以人的價值為基礎，而 不是以買賣關係為基礎的社會是一 種必然的趨勢。

布朗運動

懸浮在氣體、液體中的微小顆粒(稱為布朗粒子)受到周圍作熱運動的氣、液分子不平衡的碰撞而發生的永不停息的、不規則的運動。圖中是在顯微鏡下對懸浮在空氣中的一顆粉塵微粒每隔一秒鐘位置變化所作的記錄。顆粒越小，溫度越高，這種運動越激烈。

1827年英國植物學家布朗在顯微鏡下觀察懸浮在水中的花粉時，首先發現了這種運動，開始布朗懷疑這是由於花粉有生命造成的，於是布朗把花粉浸在酒精中將它殺死，乾枯後再作實驗，結果花粉顆粒同樣運動，他又把玻離碎片碾成細粉來作實驗，得到同樣的結果，人們又懷疑布朗粒子的運動是不是由於外界的影響(如振動、氣體或液體的對流等)引起的?精確的實驗表明：在排除外界干擾的情況下，布朗運動仍然存在。當時布朗雖不能解釋這種運動的原因，但他如實的作了詳細記錄，直到布朗逝世後，隨著氣體動理論的發展，人們才認識到布朗運動的實質：由於布朗粒子非常小，在任一瞬時，周圍分子從各方向的碰撞作用力是不平衡的，存在一個淨作用力，這個力大小、方向不斷變化，故使布朗粒子作永不停息的、無規則的運動。布朗的實驗是歷史上第一次間接顯示分子運動的著名實驗，為紀念布朗對科學的偉大貢獻，人們把這種運動命名為布朗運動。

經過70多年，到1905年，德國物理學家愛因斯坦在《物理學年鑑》第4編17卷上發表的“熱的分子運動論所要求的靜液體中懸浮粒子的運動”的論文中，從能均分定理出發，首先得出了布朗運動的完整的理論。同一時期波蘭物理學家馬·馮·斯莫盧霍夫斯基對這一課題也作了理論上的研究，法國物理學家讓·佩蘭於1908年完成了布朗運動的定量實驗。這是物質分子-原子論、氣體動理論的巨大成功，也對漲落理論的建立起了重要作用。同時，這種把原來看不見的分子的微觀運動和可以看得見的粒子的巨觀運動聯繫起來的作法，為研究物理現象提供了一種重要方法。

概念解釋

維納測度是定義在連續函式空間上的一種描述布朗運動的測度。設t>0，在區間[0，t]上連續並在點0取值為零的函式的全體記為C(C中的每個元可理解為做一維布朗運動的粒子的軌道)。又設(a_i，b_i)(1≤i≤n)是n個區間，0<t₁<t₂<…<t_n≤t.集A={x(t)|x(t)∈C，x(t_i)∈(a_i，b_i)，1≤i≤n}為C中的柱集。軌道x落入A中的機率是：

這樣在柱集全體上定義了一個柱測度。維納(Wiener，N.)證明了它可以延拓成C上的可列可加的測度d_wx，就稱它為維納測度，關於該測度的積分稱為維納積分。維納於1921年發表的關於布朗運動的論文中提出了這種測度。

意義

維納過程在純數學和套用數學中都起著重要的作用。在純數學中，維納過程產生了連續時間鞅的研究。這是一個關鍵的過程，在這個過程中，可以描述更複雜的隨機過程。因此，它在隨機微積分、擴散過程甚至潛在理論中起著至關重要的作用。這是schramm - loewner進化的驅動過程。在套用數學中，維納過程被用來表示白噪聲高斯過程的積分，因此在電子工程中作為噪聲模型(見布朗噪聲)，濾波理論中的儀表誤差和控制理論中的未知力是有用的。

維納過程在整個數學科學中都有套用。在物理學中，它被用來研究布朗運動，在流體中懸浮粒子的擴散，以及其他類型的擴散通過fokk -普朗克和Langevin方程式。它也構成了量子力學的嚴格路徑積分公式的基礎(由費曼- kac公式，薛丁格方程的解可以用維納過程的術語來表示)，以及物理宇宙學中永恆膨脹的研究。它在金融學的數學理論中也很突出，尤其是布萊克-斯科爾斯期權定價模型。

柱測度

柱測度是測度概念的推廣。設X，Y是兩個實線性空間，〈x，y〉(x∈X，y∈Y)是X×Y上的實雙線性泛函，且對任意非零向量x∈X，存在y∈Y，使得〈x，y〉≠0；對Y也有同樣的假定。任取n個向量x_i∈X(1≤i≤n)，記Y中使〈x₁，·〉，〈x₂，·〉，…，〈x_n，·〉均為可測函式的最小σ代數為F(x₁，x₂，…，x_n)。每個F(x₁，x₂，…，x_n)中的集稱為Y中的柱集，柱集全體記為F，它是Y上的代數。若μ是F上的集函式且μ限制在每一個F(x₁，x₂，…，x_n)上是一個機率測度，則μ稱為Y上的柱測度。明洛斯(Минлос，Р.А.)於1959年證明了下面的基本定理：若Φ是核空間，則Φ的共軛空間Φ′的任何一個關於Φ的拓撲連續的(即對任何ε>0，存在Φ中點o的鄰域U，對任何x∈U，都有：

柱測度μ都是可列可加的。