伊藤過程

簡介

隨機微分方程（SDE）形如

其積分形式為

此方程的解

稱為伊藤過程，或擴散過程（diffusion process）。在一定的條件下，隨機微分方程的解是存在唯一的。

令

由伊藤公式可得到

是鞅。這建立了擴散過程（

）與二階微分運算元 L 之間的聯繫。更進一步，可以給出了拋物型方程的隨機表示。

控制論的發明人維納在1923年指出，布朗運動在數學上是一個隨機過程，提出了用“隨機微分方程”來描述，因此人們也把布朗運動稱為維納過程。

日本數學家伊藤發展建立了帶有布朗運動干擾項的隨機微分方程，

，其中，σ(t,x)是干擾強度，μ(t,x)是漂移率，σ(t,x)dz服從常態分配N(0,σ²(t,x))。

該方程描寫的過程是伊藤過程。伊藤過程可看成為一般化的維納過程，它直接把布朗運動理解為隨機干擾，從而賦予了布朗運動最一般的意義。

布朗運動是隨機漲落的典型現象，一般地說，許許多多的巨觀觀測，都要受到布朗運動的限制。法國經濟學家Bachelier L把股價的變動理想化為布朗運動.

在此基礎上，經濟學家把伊藤過程方程用於描寫股票價格行為過程的一種模式，為更確切地描寫股票價格的行為過程（只限於在短時間內），伊藤過程方程被修正為

。其中σ為股票價格波動率、 μ為股票價格的預期收益率，人們把它稱為股價方程，它是一個隨機微分方程。由伊藤過程描述的股價方程是一個正向的隨機微分方程，從確定的S(0)=S₀出發，根據布朗運動的隨機變數B(t)在0-t之間的形態，來推斷軌線的統計行為。