《組合數論中的堆壘問題》是依託南開大學，由高維東擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：組合數論中的堆壘問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：高維東
- 依託單位：南開大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目擬研究組合數論的堆壘理論中三個方面的基本和熱點問題：限制子集和問題和子集和理論的反問題；關於高維Abel群的零和問題及其套用以及零和問題在半群上的推廣和模擬；長算術級數的存在性問題。研究方法將涉及多項式方法，群環方法，機率方法，傅立葉分析等。 特別地，本項目將探索Alon的多項式方法和理論的群環模擬。
結題摘要
本項目已按計畫完成，達到預期目標。所取得的主要成果如下：1. 否定了Lemke和Kleitman於1989年提出如下猜想: 每一個長度為n的Z/nZ 上的序列都包含一個Index為1的子列. 對n模4餘2 且n≧22 我們給出 上長度為5n/4+ -3/2的序列其不含Index為1的子列；（2）設 G是一個有限Abel群,用exp(G) 表示G 的冪指數(exponent).定義EGZ常數s(G) 為滿足下麵條件的最小正整數t: 由 G的元構成的任意t 項序列都有一個exp(G) 長的子列所有項之和為零(G 的單位元，這種序列稱為零和序列). 對給定G=(Z/nZ)^r 上的一個序列S，要證明S有一個長度為n=exp(G)的零和子列。顯然最簡單的情況是S有一項重複至少n次。次簡單的情況就是沒有元素出現n次或n次以上，但重複出現n-1次的元素儘可能的多。我們的主要結果粗略地說就是如果能證明在這種次簡單的情況下，S有一個長度為n的零和子列，那么我們可以對某些m得到關於s((Z/mnZ)^r)的精確結果；（3）我們證明了對所有秩為2的有限Abel群G=Z/mZ+Z/nZ 均有N(G)=m+n ，這裡1<=m|n, N(G)為 Narkiewicz常數，其定義為只有一種方式分解成極小零和子列乘積的零和序列的最大可能長度。這解決了Narkiewicz 30年前提出的一個猜想；（4）用η(G)為滿足下麵條件的最小正整數t: 由G的元構成的任意t 項序列都有一個長度介於1和exp(G)之間零和子列。本項目負責人2003年提出如下猜想：對任意的有限Abel群均有s(G)= η(G)+exp(G)-1. 此猜想此前僅對η(G)已知的群和exp(G)≦4的群被證實。本項目成員證明了對任意的有限Abel群H,令m=exp(H). 則對所有充分大的自然數n,均有s(G) =η(G)+exp(G)-1，這裡G=Z/mnZ+H；(5) 有限Abel群上的一個序列的所有項的階的倒數和稱作該序列的cross number。我們率先提出研究唯一分解零和序列的最大可能cross number並對階為pq的群確定了該不變數。
