加性數論

加性數論

加性數論,又稱堆壘數論,是數論的一個分支。它研究的主要問題是將整數表示成滿足特定條件的另一些整數的和,例如哥德巴赫猜想華林問題、整數分拆問題、平方和問題等。

解析數論,藉助微積分及複分析的技術來研究關於整數的問題,主要又可以分為積性數論與加性數論兩類。積性數論藉由研究積性生成函式的性質來探討質數分布的問題,其中質數定理狄利克雷定理為這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是研究整數的加法分解之可能性與表示的問題,華林問題是該領域最著名的課題。此外例如篩法、圓法等都是屬於這個範疇的重要議題。

基本介紹

  • 中文名:加性數論
  • 外文名:additive theory of number
  • 別名:堆壘數論
  • 相關問題:加性問題
  • 著名問題:哥德巴赫猜想、華林問題等
  • 所屬學科:數學(解析數論)
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基本介紹

加性數論(additive theory ofnumber) 又稱堆壘數論,是關於“加性問題”的一個數論分支。它研究的典型問
題是:設
是全體非負整數的集合,
是的有限個或可數個子集,試判定對
中的每一個n,方程
是否可解或其解數
,其中
。這類問題與整數集合的加法性質有關。堆壘數論的歷史也很古老,費馬等人就開始了堆壘數論的某些研究。以下是幾個著名的堆壘數論問題。

多角數問題

設整數
,由
確定——個數列
,屬於這個數列的整數稱為m階多角數。其通項為:
。易知,4角數就是平方數。1636年,費馬猜測:每個自然數都可以表示為m個m階多角數之和。拉格朗日於1772年證明了m=4的情況;勒讓德於1798年證明了m=3的情況;1813年,柯西證明了,這個猜測,解決了多角數問題。

平方和問題

求不定方程
的整數解的個數
的問題,其中s是給定的正整數。例如
1829年,雅可比對
予以證明,還證明了
。1919年,哈代等人得到了
時,
的漸近公式。現在對s≤24,均已得出
的具體表達式。1926年克洛斯特曼,1962年埃斯特曼分別討論了形如
的平方和問題,拓廣了平方和問題,開拓了一系列新的領域。

哥德巴赫問題

哥德巴赫問題是堆壘數論亦是整個數論最有魅力的問題之一(見哥德巴赫猜想)。

華林問題

1770年,華林推測:任意正整數能夠用不超過4個平方數的和、不超過9個立方數之和或不超過19個四次方數之和來表示。意思是:對任意給定的整數k≥2,必存在一個正整數
,使得每個正整數n必是
個非負的k次方數之和。即不定方程
對所有的整數n≥0有非負整數解
。這就是華林問題(還包括解的數目及極值問題)。
1909年,希爾伯特證明了
的存在性。1943年林尼克用密率法給出
存在性的另一個證明。
華林還猜測
的最小值
。1770年拉格朗日證明了
;1909年威弗里奇證明了
。設
為使方程(1)對充分大的n可解的
的最小值,易證
。利用
的上界估計,人們基本上完成了對
的探討:當
時有條件
時,
。1957年,馬勒爾證明當k充分大時條件一定成立;1964年,斯泰姆勒爾證明此條件存
時成立。1964年陳景潤證明
;1985年巴拉薩布雷尼安等證明了
20世紀20年代,哈代等人用圓法研究了華林問題。他們對方程(1)的解數作了估計。1938年、1947年和1957年,華羅庚三次改進估計的結果。哈代等人猜測:當
時,
;其他情形,
。易證
時,
;其他情形,
。對解數估計的改進同時也改進了對
的上界估計。1939年達文波特證明了
;1947年林尼克證明了
;1959年維諾格拉多夫證明了,當
時,
。卡拉楚巴進一步改進為
,這是目前的最好結果。
華林問題可作各種推廣。例如:(1)華林-哥德巴赫問題,即把方程(1)中的
限制為素數。對此問題的研究,華羅庚和維諾格拉多夫有重要貢獻。(2)多項式華林問題,把方程(1)中的項
換成
,這裡
是整值多項式;或更一般地換成
,其中
為整值多項式。當取
時,即為多角數問題。對多項式華林問題,華羅庚做出許多著名的工作。(3)代數數域上的華林問題,或者任意數域上的華林問題。對此問題,西格爾有重要貢獻。

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