素數又被稱為質數，其含義就是除了數字一和本身之外不能被其他任何的數字除盡，根據算術基本定理，每一個比1大的整數，要么本身是一個質數，要么可以寫成一系列質數的乘積，最小的素數是2。而素數定理能夠準確的描述素數的分布，素數分布規律，以36N（N+1）為單位，隨著N的增大，素數的個數發波浪形式漸漸增多。素數定理可以給出第n個素數p(n)的漸近估計： 它也給出從整數中抽到素數的機率。從不大於n的自然數隨機選一個，它是素數的機率大約是1/ln n。
基本介紹
定理定義,發展歷史,初等證明,驗證推導,
定理定義
素數定理是數論中的重要定理之一。指素數分布的中心定理。
下面是對π(x)更好的估計：
（如圖所示）
素數定理可以給出第n個素數p(n)的漸近估計：
它也給出從整數中抽到素數的機率。從不大於n的自然數隨機選一個，它是素數的機率大約是1/ln n。 這定理的式子於1798年法國數學家勒讓德提出。1896年法國數學家哈達瑪(JacquesHadamard)和比利時數學家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後獨立給出證明。證明用到了複分析，尤其是黎曼ζ函式。 因為黎曼ζ函式與π(x)關係密切，關於黎曼ζ函式的黎曼猜想對數論很重要。一旦猜想獲證，便能大大改進素數定理誤差的估計。1901年瑞典數學家Helge von Koch證明出，下式與黎曼猜想等價：
素數定理
素數定理至於大O項的常數則還未知道。
發展歷史
大約在1792年，15歲的德國天才少年高斯(C.Gauss)經過深入分析和例證，猜想素數在自然數中的分布密度應該是(他提出的是積分形式)。差不多在同一時候，法國數學家勒讓德(A.M.Legendre)通過數值計算，於1808年提出這樣一個經驗公式： 當x→+∞時，π(x)趨向於，這裡的π(x)即不大於正實數x的素數個數。容易看到，高斯和勒讓德提出的漸進公式是等階的，實際上都等同於猜想π(x)～(不過高斯更深刻和精確)。這就是19世紀最著名的數學難題——素數定理。這個猜想是非常令人驚異的，因為素數在自然數中的分布可以說相當“雜亂無章”，但它竟然還能用這樣簡單的公式來描述！
首先對素數定理的研究作出重要貢獻的是俄國大數學家切比雪夫(P. Chebyshev)，他證明： 存在兩個正常數C1和C2，使不等式≤π(x)≤對充分大的x成立，並且相當精確地定出了C1和C2的數值。他還證明，如果的極限存在，則必定是1。這些無疑都是很重要的進展，但遺憾的是，用切比雪夫的方法無法證明最後的結果。
1896年，兩位年輕的數學家阿達馬(J.Hadamard)和德·拉·瓦萊布桑(C. J. de la Vallée Poussin)按照大數學家、高斯的學生黎曼(B. Riemann)的思路，終於各自獨立地利用高深的整函式理論證明了素數定理，從而解決了這個有著一個世紀歷史的難題。
1949年，兩位年輕的數學家——31歲的賽爾伯格(A. Selberg)和35歲的愛多士(P. Erdös)分別獨立地證明了素數定理。與以往證明不同的是，他們沒有用到ζ函式，而且除了極限、e和logx的簡單性質外，沒有用到任何高等數學知識，甚至連微積分都沒用到!可以說，他們給出的是一個完全“初等”的證明，這一結果轟動了整個數學界後來有人用1+x++…+代替e，用1++…+代替logx (n≤x)，給出了一個連指數、對數函式都不需要的初等證明。賽爾伯格由於這項成就及其他工作而獲得了菲爾茲獎，愛多士則與陳省身一起獲得了沃爾夫數學獎。
初等證明
一些數學家不相信能找出不需藉助艱深數學的初等證明。像英國數學家哈代便說過素數定理必須以複分析證明，顯出定理結果的「深度」。他認為只用到實數不足以解決某些問題，必須引進複數來解決。這是憑感覺說出來的，覺得一些方法比別的更高等也更厲害，而素數定理的初等證明動搖了這論調。Selberg－艾狄胥的證明正好表示，看似初等的組合數學，威力也可以很大。 但是，有必要指出的是，雖然該初等證明只用到初等的辦法，其難度甚至要比用到複分析的證明遠為困難。
素數之戀
素數之戀驗證推導
除2、3之外，所有6n±1都可置於一條坐標上，將6n+1分布在左邊，那么中心點為1，右側為6n-1。反正則中心點為-1。坐標上的每個數字產生一條波形，未被覆蓋的點就是素數。波長等於數字自身。
將每條波形拆分，坐標左邊和坐標右邊形成兩條波形，存在兩個焦點，附圖：
