穩定流形

穩定流形(stable manifold)是微分動力系統的基本概念，它是微分動力系統研究的重要內容。穩定與不穩定流形是動力系統的不動點或周期軌附近當時間趨於無窮時會趨於該軌的點的集合。按時間趨於正無窮或負無窮可分別得到穩定流形和不穩定流形。穩定與不穩定流形的概念可以從不動點或周期軌推廣到任意一點，從而得到雙曲集的重要概念。

基本介紹

• 中文名：穩定流形
• 外文名：stable manifold
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：動力系統(微分動力系統)
• 相關概念：穩定集，不穩定集等

基本介紹

穩定流形和不穩定流形在結構穩定性、Ω穩定性以及分歧理論等許多課題的研究中起著十分重要的作用，穩定流形與不穩定流形的方法是當前研究微分動力系統結構穩定性等問題的三個主要方法(即泛函分析法、穩定流形法以及典範方程組法)之一。穩定流形本身的理論也是微分動力系統研究的重要內容，作為穩定流形推廣的穩定集也在拓撲動力系統的研究中發揮著重要的作用。

所謂一點 的穩定流形，是指在同步意義下正半軌和過點 的正半軌具有相同的極限性質的那些點集，該點集構成系統所在相空間——微分流形的子流形。

穩定集與不穩定集

設 是一度量空間， 是同胚，對任意 ，集合

分別稱為 在點 處的穩定集和不穩定集。對任意 ，集合

分別稱為 在點 處(尺度為ε的)局部穩定集和局部不穩定集。明顯的有

並且對任意 ，有

對於連續流，有類似的定義如下：設 是M上的連續流，對任意 ，集合

稱為φ在點 處的穩定集。類似地， 分別稱為φ在點 處的不穩定集、(尺度為ε的)局部穩定集和局部不穩定集。

記 為φ過點 的軌道，集合

分別稱為φ的過點 軌道的穩定集和不穩定集。顯然，若 是同胚 (連續流φ)的不動點，則 與 與 分別是由以 為ω極限集和以 為α極限集的點組成；若 是φ的周期軌道，則 和 分別是由以 為ω極限集和以 為α極限集的點組成。

穩定流形定理

設M是黎曼流形， 是 微分同胚， 是 的緊緻雙曲不變集，海爾士(Hirsch，M.W.)和皮尤夫(Pugh，C.)證明了重要的穩定流形及不穩定流形定理：若 是由 的雙曲性所決定的連續直和分解，則存在ε>0，使得對任意的 ，局部穩定集 是與 切於x的 嵌入k維圓盤(這裡 )；局部不穩定集 是與 切於x的 嵌入 維圓盤(這裡 )，並且，當 在 中變化時，這兩族圓盤分別依 變化而連續變化。該定理表明：局部穩定集 和局部不穩定集 都是 嵌入子流形，因而穩定集 和不穩定集 是 浸入子流形，這樣一來，就有理由稱局部穩定集和局部不穩定集為局部穩定流形和局部不穩定流形，對M上的 向量場情形，其穩定流形與不穩定流形定理的內容與 微分同胚情形完全類似，作為特殊情況，當 僅由一個不動點(奇點)組成時，這就是雙曲不動點(雙曲奇點)的穩定流形與不穩定流形定理。例如，設 是巴拿赫空間， 是雙曲線性映射， 是由A決定的直和分解，於是有

若令 ，則