基本介紹
- 中文名：發散序列
- 外文名：divergent sequence
- 領域：數學
- 學科：數學分析
- 定義：不收斂的序列
- 分類：定向發散序列、不定向發散序列
概念,序列,收斂,收斂數列,函式收斂,疊代算法的斂散性,發散,發散數列,
概念
發散序列(divergent sequence)是指不收斂的序列。發散的實數列分兩類，一類是有無限極限+∞或-∞的，稱為定向發散序列，其他的稱為不定向發散序列。例如，數列{q}n≥1，當|q|<1及q=1時，分別收斂於0與1；當q≤-1時，不定向發散；當q>1時，定向發散於+∞。
序列
序列是數學分析的基本概念之一。即可用自然數編號，並按編號從小到大的次序排列的同一類數學對象。若將序列看做集合，它的元素稱為序列的項。但序列並非一般的集合，序列的項有先後次序，並且不同的項可以是相同的元素。序列可以只有有限項，稱為有限序列.不只有限項的序列稱為無窮序列，這是數學分析中通常討論的對象。序列按各項順序排列可寫為a1，a2，…，an，…，簡記為{an}或{an}n=1.排在第n位的項an稱為第n項，把n看做在自然數集N中變動時，亦把an稱為通項。序列常隨其所包含的數學對象使用不同名稱，例如：各項都是數的序列稱為數列，各項都是點的稱為點列，各項都是函式的稱為函式列。數列也可看做定義域為自然數集N或其部分Nk={1，2，…，k}的函式或映射(f∶n→an)，因此亦稱整序變數。數列還常用數軸上的點列表示，所以數列與直線上的點列可以不加區分。
收斂
收斂數列
函式收斂
定義方式與數列收斂類似。柯西收斂準則：關於函式f(x)在點x0處的收斂定義。對於任意實數b>0,存在c>0,對任意x1,x2滿足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。
收斂的定義方式很好的體現了數學分析的精神實質。
如果給定一個定義在區間i上的函式列，u1（x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 則由這函式列構成的表達式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴稱為定義在區間i上的（函式項）無窮級數，簡稱（函式項）級數
對於每一個確定的值X0∈I,函式項級數 ⑴ 成為常數項級數u1（x0）+u2（x0）+u3（x0）+......+un（x0）+.... （2） 這個級數可能收斂也可能發散。如果級數（2）發散，就稱點x0是函式項級數（1）的發散點。函式項級數（1）的收斂點的全體稱為他的收斂域，發散點的全體稱為他的發散域對應於收斂域內任意一個數x，函式項級數稱為一收斂的常數項 級數，因而有一確定的和s。這樣，在收斂域上 ，函式項級數的和是x的函式S（x），通常稱s（x）為函式項級數的和函式，這函式的定義域就是級數的收斂域，並寫成S（x）=u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......把函式項級數 ⑴ 的前n項部分和 記作Sn(x)，則在收斂域上有lim n→∞Sn(x)=S(x)
記rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函式級數項的餘項 （當然，只有x在收斂域上rn（x）才有意義，並有lim n→∞rn (x)=0
疊代算法的斂散性
1.全局收斂
對於任意的X0∈[a,b],由疊代式Xk+1=φ（Xk）所產生的點列收斂，即其當k→∞時，Xk的極限趨於X*，則稱Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收斂於X*。
2.局部收斂
若存在X*在某鄰域R={X| |X-X*|<δ},對任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所產生的點列收斂，則稱Xk+1=φ（Xk）在R上收斂於X*。
發散
在數學分析中，與收斂（convergence）相對的概念就是發散(divergence)。發散函式的定義是：令f(x)為定義在R上的函式，如果存在實數b>0，對於任意給出的c>0，任意x1，x2滿足|x1-x2|<c，有|f(x1)-f(x2)|>b，則函式為發散函式。這條定義來自柯西收斂定則的反定則。
發散數列
①無窮大量，如數列 {e}，{ (-1)n} 等。
②無界而不是無窮大量的數列。如
{n+ (-1)n}。
③不收斂的有界振盪數列，如 { (-1)}。
證明數列發散，常常用到下列知識：
①數列極限的定義;
②收斂數列的有界性;
③收斂數列的子列性質。
