瑕積分

瑕積分 (improper integral)是高等數學中微積分的一種，是被積函式帶有瑕點的廣義積分。

基本介紹

• 中文名：瑕積分 
• 外文名： improper integral
• 領域：數學
• 相關：反常積分；廣義積分

定義

瑕點

如果函式在的任一鄰域內無界，則稱點為的一個瑕點。例如，是的瑕點；是的瑕點。

定義1

設函式f(x)在(a,b]上連續，點a為f(x)的瑕點.取t>a，如果極限存在，則稱此極限為函式f(x)在(a,b]上的反常積分。瑕積分仍然記作。

定義2

設函式f(x)在[a,b)上連續，點b為f(x)的瑕點。取t<b，如果極限存在，則稱此極限為函式f(x)在[a,b)上的反常積分。

定義3

設函式f(x)在[a,b]上除點c(a<c<b)外上連續，點c為f(x)的瑕點。如果兩個瑕積分與都收斂，則定義。

定理和性質

定理

瑕積分(瑕點為)收斂的充要條件是：任給存在，只要，總有

性質1

設函式與的瑕點同為，、為常數,則當瑕積分與都收斂時，瑕積分必定收斂，並有

性質2

設函式的瑕點為，在的任一內閉區間(a,b]上可積。則當收斂時也必定收斂，並有

性質3

設函式的瑕點為為任一常數.則瑕積分與同斂態，並有

收斂判別法

當收斂時，稱為絕對收斂。稱收斂而不絕對收斂的瑕積分是條件收斂，判別瑕積分絕對收斂的比較法則如下：

(比較法則) 設定義在(a,b]上的兩個函式與，瑕點同為，在任何[u,b]上都可積，且滿足，則當收斂時，必定收斂(或當發散時，亦必發散)。