混沌系統的分析與控制

《混沌系統的分析與控制》是依託四川大學，由張偉年擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：混沌系統的分析與控制
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：張偉年
• 依託單位：四川大學

項目摘要

複雜系統或者來源於包含複雜函式關係的系統建模，或者來源於高維系統的不變流形化簡。系統的複雜性可能導致計算平衡點甚至確定平衡點個數都非常困難，對進一步判斷分岔、周期性和混沌就更有挑戰性。由於這樣的複雜系統在工程問題中往往不可避免，因此對一些定性分析方法和分岔判定方法給出數值算法或符號算法是十分重要的。本項目擬利用半代數系統的分解、不變流形的數值計算和符號計算，對一些高維、複雜系統給出平衡點定性性質判定、焦點量符號計算及Melnikov方法、Shilnikov方法的數值計算，以近似的方法準確地判定系統的穩定性、周期性和混沌。進而，結合全局隱函式分析研究混沌系統的控制與反控制問題。

結題摘要

如何判斷一個實際系統尤其具有複雜形式的系統的混沌動力學行為以及其吸引子結構，進而對其動力學性質進行控制，已成為動力系統混沌研究的一個重要課題。本項目圍繞這樣的主題，針對具有不連續點的旋轉擺系統、Sprott E（Shilnikov型混沌）系統等開展研究。首先，我們考慮一類具有不連續點的旋轉擺系統的混沌問題，改進前人用於異宿分岔的Melnikov方法的數值算法以適應對同宿分岔的分析和克服不連續點導致的困難，利用符號計算與數值計算相結合，對非激勵情形作出了定性分析並得到系統具有同宿/異宿、類同宿/類異宿（連線不連續的類鞍點）的參數條件，進而給出了系統在外加阻尼與周期激勵作用下由（類）同宿/異宿橫截相交導致的混沌發生區域。另一方面，我們構造了一類具有無窮多自激與隱藏吸引子並存的二維非線性系統，給出系統平衡點穩定與不穩定條件，利用數值計算和模擬對系統的並存吸引子、Lyapunov指數、分岔圖等進行了分析，用數值方法給出了系統在外周期激勵下混沌發生的參數條件。對Sprott E混沌系統在分析平衡點穩定性及無窮遠相圖的基礎上，給出了該混沌系統的控制輸入以實現系統產生穩定極限環，並用數值模擬展示出現混沌吸引子與周期吸引子並存的結構。此外，研究退化系統的規範化，具體考慮有理分式的冪函式規範化，利用極稀疏有理變換實現等價性，並利用符號計算給出規範化條件。針對疊代關係下計算，具體研究包含二次疊代和非線性項的一個泛函方程，用不動點定理和逐段構造的方法分別在具有Lipschitz條件和不具有Lipschitz條件的情形給出連續解存在性，進而給出了該解的Lipschitz依賴性和Holder依賴性結果。