沃爾斯滕霍爾姆定理

在數論上，Wolstenholme定理說明，對於大於或等於5的質數，有四個定理，具體內容請參見正文。這定理是19世紀英國數學家Joseph Wolstenholme提出的。值得一提的是Wolstenholme是吳爾芙的父親的朋友，也是吳爾芙小說《燈塔行》中Augustus Carmichael的原形。

基本介紹

• 中文名：沃爾斯滕霍爾姆定理
• 外文名：Wolstenholme's theorem

簡介

在數論上，Wolstenholme定理說明，對於大於或等於5的質數，有

以上四個等式是等價的。

只有少數質數符合，現時已知有兩個這樣的質數，16843 及 2124679 （OEIS:A088164）。這類質數稱為Wolstenholme質數，下一個這樣的質數如果存在，它大於10。

這定理是19世紀英國數學家Joseph Wolstenholme提出的。值得一提的是Wolstenholme是吳爾芙的父親的朋友，也是吳爾芙小說《燈塔行》中Augustus Carmichael的原形。

數論

數論是純粹數學的分支之一，主要研究整數的性質。被譽為“最純”的數學領域。

正整數按乘法性質劃分，可以分成質數，合數，1，質數產生了很多一般人也能理解而又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想，孿生質數猜想等，即。很多問題雖然形式上十分初等，事實上卻要用到許多艱深的數學知識。這一領域的研究從某種意義上推動了數學的發展，催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外，也研究一些由整數衍生的數（如有理數）或是一些廣義的整數（如代數整數）。

整數可以是方程式的解（丟番圖方程）。有些解析函式（像黎曼ζ函式）中包括了一些整數、質數的性質，透過這些函式也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關係，並且用有理數來逼近實數（丟番圖逼近）。

數論早期稱為算術。到20世紀初，才開始使用數論的名稱，而算術一詞則表示“基本運算”，不過在20世紀的後半，有部分數學家仍會用“算術”一詞來表示數論。1952年時數學家Harold Davenport仍用“高等算術”一詞來表示數論，戈弗雷·哈羅德·哈代和愛德華·梅特蘭·賴特在1938年寫《數論介紹》簡介時曾提到“我們曾考慮過將書名改為《算術介紹》，某方面而言是更合適的書名，但也容易讓讀者誤會其中的內容”。

卡爾·弗里德里希·高斯曾說：“數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。”

質數

質數（Prime number），又稱素數，指在大於1的自然數中，除了1和該數自身外，無法被其他自然數整除的數（也可定義為只有1與該數本身兩個正因數的數）。大於1的自然數若不是素數，則稱之為合數。例如，5是個素數，因為其正約數只有1與5。而6則是個合數，因為除了1與6外，2與3也是其正約數。算術基本定理確立了素數於數論里的核心地位：任何大於1的整數均可被表示成一串唯一素數之乘積。為了確保該定理的唯一性，1被定義為不是素數，因為在因式分解中可以有任意多個1（如3、1×3、1×1×3等都是3的有效約數分解）。

古希臘數學家歐幾里得於公元前300年前後證明有無限多個素數存在（歐幾里得定理）。現時人們已發現多種驗證素數的方法。其中試除法比較簡單，但需時較長：設被測試的自然數為n，使用此方法者需逐一測試2與之間的整數，確保它們無一能整除n。對於較大或一些具特別形式（如梅森數）的自然數，人們通常使用較有效率的算法測試其是否為素數（例如2-1是直至2017年底為止已知最大的梅森素數）。雖然人們仍未發現可以完全區別素數與合數的公式，但已建構了素數的分布模式（亦即素數在大數時的統計模式）。19世紀晚期得到證明的素數定理指出：一個任意自然數n為素數的機率反比於其數位（或n的對數）。

許多有關素數的問題依然未解，如哥德巴赫猜想（每個大於2的偶數可表示成兩個素數之和）及孿生素數猜想（存在無窮多對相差2的素數）。這些問題促進了數論各個分支的發展，主要在於數字的解析或代數方面。素數被用於資訊科技里的幾個程式中，如公鑰加密利用了難以將大數分解成其素因數之類的性質。素數亦在其他數學領域裡形成了各種廣義化的素數概念，主要出現在代數裡，如素元及素理想。