求解非線性方程的加速疊代算法

《求解非線性方程的加速疊代算法》是依託杭州師範大學，由韓丹夫擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：求解非線性方程的加速疊代算法
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：韓丹夫
• 依託單位：杭州師範大學

項目摘要

非線性疊代法是求解非線性偏微分方程的基本數值方法, 特別在多物理耦合的問題中，疊代算法的求解效率和收斂特性變得十分關鍵。本項目主要研究建立在傳統非線性疊代法之上的二重空間加速方案及其在實際計算中的套用。通過結合經典非線性疊代（如Newton疊代）法，構造具有高收斂的二重空間加速方案，用於數值求解非線性偏微分方程或多物理的非線性耦合問題。本項目研究兩種二重空間的構建方法和理論分析：一是基於同格線上的不同函式空間的二重空間方案，二是基於不同格線的二重空間方案，並針對非線性橢圓型方程和Navier-Stokes方程研究二重空間構建加速算法並給出算法的收斂性和誤差估計，為二重空間方法提供算法構建和理論分析基礎。本項目還將研究二重空間方法套用於多物理的耦合問題：NS/Darcy耦合流體問題和流固問題，給出基於有限元離散的二重空間加速方案、收斂性分析及算法實現等。

結題摘要

非線性疊代法是求解非線性偏微分方程的基本數值方法之一, 在多物理耦合的問題、流體問題Navier-Stokes方程和形狀最佳化問題中, 疊代算法的求解效率和收斂特性變得十分關鍵。本項目主要研究內容：通過結合經典非線性疊代法，如 Newton 疊代，變形Newton疊代等, 研究具有高階收斂的二重空間加速方案,並用於求解非線性偏微分方程或多物理的非線性耦合問題。本項目主要研究成果有：提出了基於同格線上的不同函式空間的二重空間方案（p-version）, 以及基於不同格線的二重空間方案（h-version）, 並針對非線性橢圓型方程、 Navier-Stokes 方程和彈性體的形狀最佳化問題等，構建了二重空間加速算法並給出算法的收斂性和誤差估計, 為二重空間的加速算法提供了理論分析基礎和實現手段。本研究取得了如下的主要成果: 發表SCI和EI論文8篇（見正文），其中中科院JCR II區論文2篇；培養2名博士研究生，8名碩士研究生；項目組成員1人獲得國家青年基金；召開國際學術會議2次等。主要研究成果有：（I） 對Navier-Stokes方程的流函式形式，通過利用backtracking加速技術，給出了二重格線的Newton疊代算法，建立的相應的收斂性結果和誤差估計，該結果從本質上改善了目前的相關研究工作，並在收斂階上是最好的（Applied Mathematics and Computation 274 (2016) , 649–660）； （II） 對Navier-Stokes方程的流函式形式，提出了p-形式的樣條函式方法，該方法首次把不同次數的樣條函式空間作為多重空間的粗細空間，並建立了收斂性定理和誤差估計（Computers and Mathematics with Applications 71 (2016) , 2557–2567）； （III）對具有多重懸點的格線，提出了連續性（或光滑性）條件，並構造的相關算法；數值例子表明，具有懸點的非正則格線對某些非線性問題，速度提高將近40%(Journal of Computational and Applied Mathematics 337(2018), 125–134 ).