《數值求解非線性方程組的預條件研究及其套用》是依託浙江大學，由黃正達擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：數值求解非線性方程組的預條件研究及其套用
- 依託單位：浙江大學
- 項目負責人：黃正達
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
針對非線性方程組(非線性偏微分方程的離散系統及非線性矩陣方程)的數值求解展開研究。研究非線性方程組的合理形變，以改善非線性方程組的性態，降低非線性疊代方法的計算複雜度；研究非線性疊代本身所具備的預處理功能，以提高疊代方法在偏微分方程數值求解中的效率；結合非線性方程組的構造特性，在關注非線性疊代法的內循環步中線性方程組的代數預處理技術的同時，研究如何進行有效的預處理以保持非線性疊代的收斂階，提高計算效率。考慮上述內容在不可壓縮流體及電磁問題計算中的套用。
結題摘要
微分方程數值求解中，離散所得的有限維(非)線性問題對原文題的逼近性態以及對離散問題數值求解中的方法對數值求解的效果產生直接的影響，項目意在探討改善離散問題的逼近性狀以及數值求解的疊代方法。我們在如下三個方面取得了一些進展：（一）微分方程數值求解的方法。在這部分中，我們藉助最佳化問題，構建了一類二維Helmholtz方程的密度函式的重構問題的疊代算法，構建了一類針對非線性磁材料中的缺陷檢測的疊代算法；我們藉助於問題本身的結構修正離散的非線性方程組，構建了對稱阻抗形式的Sturm-Liouville方程密度函式的重構疊代算法；數值例子表明，上述算法的效能得到提高。我們藉助同解形變數值求解二維橢圓問題的線性方程組，改善了係數矩陣的條件數的方法。（二）高階疊代法及矩陣求根算法的研究。在這部分中，我們獲得了Euler方法用於求解矩陣主p次根的收斂域，分析其穩定性，並藉助Schur分解，構造了相對穩定的數值求解格式，提高計算效能；我們還擴大了Newton法求解矩陣主p次根時的已知收斂域。（三）關於鞍點問題的算法研究。在這部分中，我們對SOR類、AOR類以及SSOR類算法的基本構造及其收斂性展開了系統的研究，給出了一般性的構造形態，獲得了算法類的收斂因子的下確界，順便給出了下確界可達的條件。我們展開了數據處理中的方法研究中。
