比較定理

在黎曼幾何的研究中，通過比較一個黎曼流形和與它性質接近的空間形式的集合量，從而定性地或定量地得到該黎曼流形的一些性質，所得到的結果通常被稱為比較定理。

基本介紹

• 中文名：比較定理
• 外文名：comparison theorem
• 適用範圍：數理科學

簡介

在黎曼幾何的研究中，有一個常用的方法是通過比較一個黎曼流形和與它性質接近（如截面曲率，或里奇曲率相近）的空間形式的集合量（如雅可比向量的長度、切向量的長度和夾角等等），從而定性地或定量地得到該黎曼流形的一些性質，所得到的結果通常被稱為比較定理。比較定理是黎曼幾何中重要的研究工具。

分類

黎曼幾何中有許多比較定理，較為基本的有：

勞赫比較定理（Rauch comparison theorem）；

托波諾格夫比較定理（Toponogov comparison theorem）；

畢曉普-格羅莫夫體積比較定理（Bishop-Gromov volume comparison theorem）；

拉普拉斯運算元比較定理（Laplacian comparison theorem）。

勞赫比較定理

勞赫比較定理如下：

假設 分別是 維黎曼流形， 表示的截面曲率；分別是，M 和 上以弧長 t 為參數的測地線， 在 上五共軛點：J 和 分別是上沿 的雅可比場，使得 分別與在 t=0 處相切，並滿足條件

如果對與任意的，以及任意的

都有

則對於任意的有不等式。特別是，如果是常曲率 c 的空間形式，並且 M 是截面曲率滿足，則對於 M 上沿測地線γ 在 t=0 處為零的雅可比場 J(t) 有

式中， 定義見雅克比場。當 e > 0 時，上式在 0 < t < 時成立。