歐德里茲科-肖恩哈格算法

在數學中,歐德里茲科-肖恩哈格算法是一個用於評估多點上黎曼ζ函式的值的快速算法,由(Odlyzko & Schönhage 1988)發現。

基本介紹

  • 中文名:歐德里茲科-肖恩哈格算法
  • 外文名:Odlyzko–Schönhage algorithm
簡介,黎曼ζ函式,黎曼猜想,

簡介

在數學中,歐德里茲科-肖恩哈格算法是一個用於評估多點上黎曼ζ函式的值的快速算法,由(Odlyzko&Schönhage1988)發現。其主要思想是使用快速傅立葉變換加速N個等O(N)間隔的值的有限狄利克雷級數的計算,從O(N)步減少到O(N)步(花費存儲O(N)箇中間值的代價)。黎曼-西格爾公式,用於計算虛部為T點上黎曼ζ函式的值,使用約N=T項的有限狄利克雷級數,所以要找到N個黎曼ζ函式的值時,它將加速約T倍。這將找到虛部不超過T的ζ函式零點所需的時間從大約T步減少到了大約T步。
該算法不僅可以用於黎曼ζ函式,還可以用於狄利克雷級數給出的許多其他函式。該算法被Gourdon (2004)用於驗證黎曼猜想ζ函式的前10個零點。

黎曼ζ函式

黎曼ζ函式ζ(s)的定義如下: 設一複數s,其實數部分> 1而且:
它亦可以用積分定義:
在區域{s: Re(s) > 1}上,此無窮級數收斂並為一全純函式(其中Re表示複數的實部,下同)。歐拉在1740考慮過s為正整數的情況,後來切比雪夫拓展到s>1。波恩哈德·黎曼認識到:ζ函式可以通過解析開拓來擴展到一個定義在複數域(s,s≠ 1)上的全純函式ζ(s)。這也是黎曼猜想所研究的函式。
雖然黎曼的ζ函式被數學家認為主要和“最純”的數學領域數論相關,它也出現在套用統計學(參看齊夫定律(Zipf's Law)和齊夫-曼德爾布羅特定律(Zipf-Mandelbrot Law))、物理,以及調音的數學理論中。

黎曼猜想

黎曼猜想德國數學家波恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann)於1859年提出。它是數學中一個重要而又著名的未解決的問題(猜想界皇冠)。多年來它吸引了許多出色的數學家為之絞盡腦汁。

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