黎曼-西格爾公式

數學中,黎曼-西格爾公式黎曼ζ函式近似函式方程誤差的漸近公式。

基本介紹

  • 中文名:黎曼-西格爾公式
  • 學科數學
  • 領域數學
  • 相關術語黎曼ζ函式
  • 發現時間:1932年
  • 發現者:Siegel
介紹,定義,黎曼積分公式,

介紹

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數學中,黎曼-西格爾公式黎曼ζ函式近似函式方程誤差的漸近公式,前者是ζ函式的近似值,由兩個有限狄利克雷級數的和來近似。Siegel (1932)在波恩哈德·黎曼1850年代一篇未發表的手稿中發現這個公式。西格爾從黎曼-西格爾積分公式中推導出它,這是一個涉及ζ函式圍道積分的表達式。該公式通常用於計算黎曼-西格爾公式的值,與歐德里茲科-肖恩哈格算法相結合,可以大大加快算法的速度。當沿著關鍵線使用時,通常將其變換為關於Z函式的公式比較有用。

定義

如果MN是非負整數,那么ζ函式等於
其中
是函式方程ζ(s) =γ(1-s)ζ(1 −s)中出現的因數,且
是一個圍道積分,圍道的起點和終點在+∞處,並最多繞絕對值奇點2πM圈。近似函式方程給出了誤差項大小的估計。Siegel (1932)和Edwards (1974)通過將最速下降法套用於該積分,推導出黎曼-西格爾公式,將誤差項R(s)漸近展開為Im(s)的負冪次級數。在套用中,s通常位於關鍵線上,並且選擇正整數MN約為(2πIm(s))。Gabcke (1979)發現了一個黎曼-西格爾公式誤差的較好界限。

黎曼積分公式

黎曼證明了
積分圍道是一條斜率為-1的線,通過0和1之間。
他用此給出了以下ζ函式的積分公式:

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