黎曼-西格爾公式

在數學中，黎曼-西格爾公式是黎曼ζ函式的近似函式方程誤差的漸近公式。

基本介紹

• 中文名：黎曼-西格爾公式
• 學科：數學
• 領域：數學
• 相關術語：黎曼ζ函式
• 發現時間：1932年
• 發現者：Siegel

介紹

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在數學中，黎曼-西格爾公式是黎曼ζ函式的近似函式方程誤差的漸近公式，前者是ζ函式的近似值，由兩個有限狄利克雷級數的和來近似。Siegel (1932)在波恩哈德·黎曼1850年代一篇未發表的手稿中發現這個公式。西格爾從黎曼-西格爾積分公式中推導出它，這是一個涉及ζ函式圍道積分的表達式。該公式通常用於計算黎曼-西格爾公式的值，與歐德里茲科-肖恩哈格算法相結合，可以大大加快算法的速度。當沿著關鍵線使用時，通常將其變換為關於Z函式的公式比較有用。

定義

如果M和N是非負整數，那么ζ函式等於

其中

是函式方程ζ(s) =γ(1-s)ζ(1 −s)中出現的因數，且

是一個圍道積分，圍道的起點和終點在+∞處，並最多繞絕對值奇點2πM圈。近似函式方程給出了誤差項大小的估計。Siegel (1932)和Edwards (1974)通過將最速下降法套用於該積分，推導出黎曼-西格爾公式，將誤差項R(s)漸近展開為Im(s)的負冪次級數。在套用中，s通常位於關鍵線上，並且選擇正整數M和N約為(2πIm(s))。Gabcke (1979)發現了一個黎曼-西格爾公式誤差的較好界限。

黎曼積分公式

黎曼證明了

積分圍道是一條斜率為-1的線，通過0和1之間。

他用此給出了以下ζ函式的積分公式：