橫截性

映射與流形間某種規則相處狀態的刻畫.它推廣了映射在正則值處的性質,橫截性在動力系統理論中起著重要作用.

基本介紹

• 中文名：橫截性
• 外文名：transversality
• 所屬領域：數理科學
• 套用領域：動力系統理論等

定義

定義一

設M和N是巴拿赫微分流形,f∈ (M,N),W是N的 子流形(r≥1).設p∈ (W), f(p)=q. 若複合映射

為滿射且核裂,其中n為到商空間的自然投影,則稱f在點p與W橫截,記為f⫚_pW. 如果對 (W)中的每點p,均有f⫚_pW,則稱f與W橫截,記為f⫚W.特別地,當 (W)=∅時,也有f⫚W. 設q∈N,則f⫚{q}等價於q是f的正則值.設W₁與W₂是N的兩個子流形,i₁:W₁→N為包含映射,若i₁⫚W₂,則稱W₁與W₂橫截.設M₁,M₂,N為 流形,f₂∈ (M₂,N),若映射

與N×N中的對角線流形Δ={(q,q)|q∈N}橫截,則稱映射f₁與f₂橫截.下述原像定理反映了橫截概念的重要性:

設f∈ (M,N), W是N的 子流形.若f⫚W,則當 (W)≠∅時, (W)是M的 (正則)子流形,且 (W)在M中的余維數等於W在N中的余維數.特別地,若q是f的正則值,且 (q)≠∅,則 (q)是M的 子流形.

定義二

設S⊂N是一 子流形，f：M→N為 映射，k，r≥1。我們說f在點p∈M橫截於S，若f(p)∉S或

成立，即TMp在dfp下的像包含 的互補於 的一個子空間。如果f在每一點p∈M均與S橫截，就稱f與S橫截，記作f⫚S。注意到若M的維數小於S的余維數，那么f與S是橫截的若且唯若f(M)∩S=Φ。

相關命題和推論

命題1 映射f：M→N在點p∈ (S)與S橫截若且唯若0是

的一個正則值，其中Up為以上所設的某個鄰域。

推論 設f∈ (M，Nⁿ)且Sⁿ為N的 子流形，k,r≥1。如果f與S橫截，則 （S）或者是空集，或者是余維數為n一s的 子流形，這裡l=min(k,r)。

命題2 若M是緊的且S⊂N為閉的，則橫截於S的 (M，N)中的映射形成一個開子集。

命題3 若F：AXM→N與S⊂N橫截，則Ts是在A中剩餘的。

推論1 設f：M→Rⁿ具有 類且S⊂Rⁿ為一子流形。那么使f+v與S橫截的向量v∈Rⁿ之集合是剩餘的。

推論2 若M是緊流形，則橫截於一個閉子流形S⊂Rⁿ的映射集合Ts⊂ (M,Rⁿ)是開且稠的。

定理4 (Thom)假定M是緊的，S⊂N是閉子流形。與S橫截的映射f∈ (M，N)之集合是開且稠的。