機率母函式

機率論里,機率母函式是指該隨機變數的機率質量函式冪級數表達式。它也是研究隨機變數分布律的一個重要的分析工具。

基本介紹

  • 中文名:機率母函式
  • 外文名:probability generating function;
  • 用途:研究隨機變數分布律的分析工具
  • 套用:機率論、統計學
  • 學科數學
定義,單變數情形,多變數情形,性質,冪級數,機率和期望,獨立隨機變數的函式,示例,相關概念,

定義

單變數情形

如果X是在非負整數域{0,1, ...}上取值的離散隨機變數,那么X的機率母函式定義為 :
其中pX的機率質量函式。享催槓

多變數情形

如果X= (X1,...,Xd )是在d-非負整數格{0,1, ...}上取值的離散隨機變數, 那么X的機率母函式定義為:
其鑽轎中pX的機率質量函式。

性質

冪級數

機率母函式服從冪級數的所有非負係數的規則。特別地,
,其中
,因為機率必須總和為1。所以任何機率母函式的收斂半徑必須至少為1,通過具有非負係數的冪級數的辨剃仔企Abel定理來證明。

機率和期望

以下性質是與X有關的各種基本量的推導:
1、X的機率質量函式通過取G的導數來恢復,
2、機率密度函式的歸一化可以用母函式來表示:
預期X由下式給出:
所以,X方差由下式給出:

獨立隨機變數的函式

機率母函式對於處理獨立隨機變數的函式特別有用。例如:
如果X1X2,...,Xn是一系列獨立的(不一定是相同分布的)隨機變數,並且
其中ai是常數,則機率母函式由下式給出:
例如,如果
那么,機率母函式GSNz)由下式給出:
也就是說,兩個獨立隨機變數S=X1-X2的汗剃章差的機率母函式是:

示例

1.一個常數隨機變數(即
)的機率母函式是:
2.一個的機率母函式二項式隨機變數,在成功的次數Ñ試驗中,機率p是每次試驗成功的機率,機率母函式是:
注意,這是具有參數p的伯努利隨機變數的機率母函式的n倍乘積。
所以,擲硬幣時間的機率母函式是:
3.一個機率戰歡婆歡母函式的負二項隨機變數在{0,1,2 ...}中,每次試驗的成功機率p,機率母函式是:

相關概念

機率母函式是一個的例子母函式循堡微的序列組成:也見形式冪級數。這與機率質量函式的z變換等效,有時稱為z變換
其他隨機變數的母函式包括矩母函式、特徵函式和累積量匙項櫻母函式。

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