樣本統計量

樣本統計量（簡稱統計量）指的是樣本的函式，並且此函式不含有未知參數。常見的統計量有：樣本均值，樣本方差，樣本極差等。

基本介紹

• 中文名：樣本統計量
• 外文名：sample statistics
• 簡稱：統計量
• 概述：樣本的函式
• 舉例：樣本均值，樣本方差
• 套用領域：統計學

定義

簡單隨機樣本

定義1 設X₁,X₂,...,X_n是來自總體X的容量為n的樣本，如果X₁,X₂,...,X_n相互獨立且每一個都是與總體X有相同分布的隨機變數，則稱X₁,X₂,...,X_n為總體X的容量為n的簡單隨機樣本，簡稱為簡單樣本或樣本。

註：樣本X₁,X₂,...,X_n也可用n維隨機向量 (X₁,X₂,...,X_n) 表示。記x_i為X_i的一次觀察值，並稱(x₁,x₂,...,x_n)為樣本X₁,X₂,...,X_n的一次觀察值。

樣本統計量

定義2 設X₁,X₂,...,X_n為總體X的樣本，T為n維實值函式，作樣本X₁,X₂,...,X_n的函式T=T(X₁,X₂,...,X_n)（不帶未知參數的隨機變數），T的取值記為t=T(x₁,x₂,...,x_n)，稱T或T(X₁,X₂,...,X_n)為樣本統計量，簡稱為統計量。

註：1）統計量指的是樣本的函式，並且不含有未知參數。樣本的函式等價於定義在樣本空間上的函式。

2）給定樣本的一次觀察值x=(x₁,x₂,...,x_n) 時，T(x₁,x₂,...,x_n)的值完全確定。

舉例

例1 設X₁,X₂,...,X_n為總體X的樣本，其容量為n. 記

則及都是統計量，稱及分別為樣本X₁,X₂,...,Xn的平均值及方差。樣本的觀察值為x₁,x₂,...,x_n，及的觀察值分別記作

拓展

順序統計量

定義3 設X₁,X₂,...,X_n為總體X的樣本，今由樣本建立n個函式：

其中為這樣的統計量，它的觀察值為，為樣本X₁,X₂,...,X_n的觀察值x₁,x₂,...,x_n中由小到大排列後的第k為數值，則稱為順序統計量。

註：易見， 稱為最小項統計量，為最大項統計量。

極差

定義4 設X₁,X₂,...,X_n為總體X的樣本，則稱統計量為樣本的極差。

註：極差是樣本中最大值與最小值之差，反映了樣本觀察值的波動幅度。它同方差一樣是反映觀察值離散程度的數量指標，而且計算方便。

抽樣分布

統計量是對總體X的分布函式或數字特徵進行估計與推斷最重要的基本概念，求出統計量T(x₁,x₂,...,x_n)的分布函式是數理統計學的基本問題之一。統計量的分布，稱為抽樣分布。