樣本方差

先求出總體各單位變數值與其算術平均數的離差的平方，然後再對此變數取平均數，就叫做樣本方差。樣本方差用來表示一列數的變異程度。樣本均值又叫樣本均數。即為樣本的均值。

均值是指在一組數據中所有數據之和再除以數據的個數。

基本介紹

• 中文名：樣本方差
• 外文名：sample Variance
• 學科：機率論
• 表示：一列數的變異程度
• 套用：人口差異的統計
• 相關名詞：樣本均值

公式

樣本方差的公式為其中為樣本均值。

簡介

在許多實際情況下，人口的真實差異事先是不知道的，必須以某種方式計算。 當處理非常大的人口時，不可能對人口中的每個物體進行計數，因此必須對人口樣本進行計算。樣本方差也可以套用於從該分布的樣本的連續分布的方差的估計。

樣本方差的無偏性

我們從一個樣本取n個值y₁，...，y_n，其中n <N，並根據這個樣本估計方差。直接取樣本數據的方差給出平均偏差的平均值：

這裡， 表示樣本均值。

由於 是隨機選擇的，所以 和 是隨機變數。 他們的預期值可以通過從群體中的大小為n的所有可能樣本 的集合進行平均來評估。 對於 ，有

因此 給出了基於因子 的人口方差的估計值。 被稱為偏樣本方差。 糾正該偏差之後形成無偏樣本方差：

估計值可以簡單地稱為樣本方差。 同樣的證明也適用於從連續機率分布中抽取的樣本。

例如，n=5個樣本觀測值值為3,4,4,5,4，則樣本均值= ， 樣本方差 = 。樣本方差是常用的統計量之一，是描述一組數據變異程度或分散程度大小的指標。

實際上，樣本方差可以理解成是對所給總體方差的一個無偏估計。E(S^2)=DX。

n-1的使用稱為貝塞爾校正（Bessel's correction），也用於樣本協方差和樣本標準偏差（方差平方根）。 平方根是一個凹函式，因此引入負偏差（由Jensen不等式），這取決於分布，因此校正樣本標準偏差（使用貝塞爾校正）有偏差。 標準偏差的無偏估計是一個技術上涉及的問題，儘管對於使用術語n-1.5的常態分配，形成無偏估計。

無偏樣本方差是函式ƒ（y₁，y₂）=（y₁-y₂）²/2的U統計量，這意味著它是通過對群體的兩個樣本統計平均得到的。

樣本方差分布

作為隨機變數的函式，樣本方差本身就是一個隨機變數，研究其分布是很自然的。 在yi是來自常態分配的獨立觀察的情況下，Cochran定理表明s²服從卡方分布：

所以可求;

和

如果y_i獨立同分布，但不一定是常態分配，那么

如果大數定律的條件對於平方觀測值同樣適用，則s²是σ²的一致估計量。 可以看出，估計的方差趨於零。 在Kenney and Keeping（1951：164），Rose和Smith（2002：264）和Weisstein（n.d.）中給出了漸近等效的公式。

正態總體的樣本均值和樣本方差相互獨立。